Инвариа́нт Хо́пфа, инвариант гомотопического класса отображений топологических пространств. Впервые был определен Х. Хопфом для отображений сфер $f:S^{2 n-1} \longrightarrow S^{n}$.

Пусть $f: S^{2 n-1} \longrightarrow S^{n}$ – непрерывное отображение. Переходя, если нужно, к гомотопному отображению, можно считать это отображение симплициальным относительно некоторых триангуляций сфер $S^{n}$ и $S^{2 n-1}$. Тогда инвариант Xопфа определяется как коэффициент зацепления $(n-1)$-мерных непересекающихся подмногообразий $f^{-1}(a)$ и $f^{-1}(b)$ в $S^{2 n-1}$ для любых различных $a, b \in S^{n}$.

Отображение $f: S^{2 n-1} \longrightarrow S^{n}$ определяет элемент $[f]\in\pi_{2n-1}(S^{n})$, и образ элемента $[f]$ при гомоморфизме

$\pi_{2 n-1}(S^{n})=\pi_{2 n-2}(\Omega S^{n}) \stackrel{h}{\longrightarrow} H_{2 n-2}(\Omega S^{n})=\mathbb{Z}$совпадает с инвариантом Хопфа $H(f)$ (здесь $h$ – гомоморфизм Гуревича (Серр Ж.-П. 1958)).

Пусть теперь $f: S^{2 n-1} \longrightarrow S^{n}$ – отображение класса $C^{2}$, и форма $\Omega \in \Lambda^{n} S^{n}$ представляет образующую группы целочисленных когомологий $H^{n}(S^{n},\mathbb{Z})$. В качестве такой формы можно взять, например, форму $\Omega={dV}/{\operatorname{vol}(S^{n})}$, где $dV$ – элемент объёма на $S^{n}$ в некоторой метрике (например, в метрике, заданной вложением $S^{n}\subset\mathbb{R}^{n+1}$), а $\operatorname{vol}\left(S^{n}\right)$ – объём сферы $S^{n}$. Тогда форма $f^{*}(\Omega) \in \Lambda^{n} S^{2 n-1}$ замкнута и, ввиду тривиальности группы $H^{n}(S^{2n-1},\mathbb{Z})$, является точной. Таким образом, $f^{*}(\Omega)=d\theta$ для некоторой формы $\theta\in\Lambda^{n-1}S^{2n-1}$. Имеет место формула для вычисления инварианта Хопфа (см. Whitеhеad J. Н. С., 1947):

$H(f)=\int_{S^{2n-1}} \theta \wedge d \theta.$Определение инварианта Хопфа обобщено на случай отображений $f: S^{m} \longrightarrow S^{n}$ при $m \leqslant 4n-4$. В этом случае имеется разложение

$\pi_{m}\left(S^{n} \vee S^{n}\right)=\pi_{m}\left(S^{n}\right) \bigoplus \pi_{m}\left(S^{n}\right) \bigoplus \pi_{m}\left(S^{2 n-1}\right) \bigoplus \operatorname{ker} k_{*}, \quad(*)$где

$k_{*}: \pi_{m+1}\left(S^{n} \times S^{n}, S^{n} \vee S^{n}\right) \rightarrow \pi_{m+1}\left(S^{2 n}\right)$– гомоморфизм, индуцированный проекцией $k:(S^{n} \times S^{n},S^{n} \vee S^{n})\longrightarrow (S^{n}, pt)$. Пусть дано отображение $g:S^{n}\longrightarrow S^{n}\vee S^{n}$, заданное стягиванием экватора сферы $S^{n}$в точку. Тогда инвариант Хопфа называется гомоморфизм

$H: \pi_{m}\left(S^{n}\right) \longrightarrow \pi_{m}\left(S^{2 n-1}\right),$при котором $[f]\in\pi_{m}(S^{n})$ преобразуется в проекцию элемента $[g \circ f] \in \pi_{m}(S^{n} \vee S^{n})$ на прямое слагаемое $\pi_{m}(S^{2 n-1})$ в разложении ($*$). При $m=2 n-1$, ввиду равенства $\pi_{2n-1}(S^{2n-1})=\mathbb{Z}$, получается обычный инвариант Хопфа. Обобщённым инвариантом Хопфа называется композиция $H^{*}$ гомоморфизмов

$\pi_{m}\left(S^{n}\right) \stackrel{g_{*}}{\longrightarrow} \pi_{m}\left(S^{n} \vee S^{n}\right) \stackrel{p}{\longrightarrow} \pi_{m+1}\left(S^{n} \times S^{n}, S^{n} \vee S^{n}\right) \stackrel{k_{*}}{\longrightarrow} \pi_{m+1}\left(S^{2 n}\right),$где $p$ – проекция группы $\pi_{m}(S^{n}\vee S^{n})$ на прямое слагаемое $\pi_{m+1}(S^{n}\times S^{n},S^{n}\vee S^{n})$, a гомоморфизмы $g_{*}$ и $k_{*}$ описаны вышe. При $m \leqslant 4 n-4$ инварианты Хопфа – Уайтхеда $H$ и Хопфа – Хилтона $H^*$ связаны соотношением $H^{*}=S \circ H$, где $S:\pi_{m}(S^{2 n-1}) \longrightarrow \pi_{m+1}(S^{2 n})$ – гомоморфизм надстройки (см. Hilton P. 1951).

Пусть дано отображение $f:S^{2 n-1} \longrightarrow S^{n}$, и $C_{f}$ – его цилиндр. Тогда когомологии $H^{*}\left(C_{f}, S^{2 n-1}\right)$ имеют однородным $\mathbb{Z}$-базисом пару $\{a, b\}$ с $\operatorname{dim} a=n$ и $\operatorname{dim} b=2 n$. Имеет место соотношение $a^{2}=H(f) b$ (см. Steenrod N. 1949). Если $n$ нечётно, то (в силу косокоммутативности умножения в когомологиях) $H(f)=0$.

Имеется (см. Адамс Д. 1968) обобщение инварианта Хопфа – Стинрода через обобщённые теории когомологий. Пусть $k$ – полуточный гомотопический функтор в смысле Дольда (см. Дольд А. 1970), заданный на категории конечных $CW$-комплексов и принимающий значения в некоторой абелевой категории $A$. Тогда отображение комплексов $f: X \rightarrow Y$ определяет элемент $f^{*}=d(f) \in \operatorname{Hom}(k(Y),k(X))$, где $\operatorname{Hom}$ – множество морфизмов в $A$. Инвариант Хопфа – Адамса $e(f)$ определен, когда $f^{*}=0$ и $d(S f)=0$, где $S f: S X \longrightarrow S Y$ – соответствующее отображение надстроек. В этом случае последовательности корасслоений

$X \stackrel{f}{\rightarrow} Y \stackrel{i}{\longrightarrow} Y \cup_{f} C X \stackrel{j}{\rightarrow} S X \stackrel{-S f}{\longrightarrow} S Y$соответствует точная последовательность в $A$ :

$0 \leftarrow k(X) \stackrel{i_{*}}{\longleftarrow} k\left(Y \cup_{f} C X\right) \stackrel{j_{*}}{\longleftarrow} k(S X) \leftarrow 0,$которая и определяет инвариант Хопфа – Адамса – Стинрода $e(f)=\mathrm{Ext}^{1}(k(Y), k(X))$.

В случае функтора $k=H^{*}(-; \mathbb{Z}_{2})$, принимающего значения в категории модулей над алгеброй Стинрода по модулю 2, получается инвариант Хопфа – Стинрода $H_{2}(f) \in \mathbb{Z}$ отображения $f: S^{m} \longrightarrow S^{n}$ при $m>n$. Когомологии $H^{*}(C_{f},S^{m};\mathbb{Z}_{2})$ имеют $\mathbb{Z}_{2}$-базисом пару $\{a, b\}$ с $\operatorname{dim} a=n$ и $\operatorname{dim} b=m+1$, и тогда

$S q^{m-n+1} a=H_{2}(f) b.$Инвариантом Хопфа $H_{p}$ по модулю $p$ ($p$ – простое) называется композиция отображений

$\pi_{2 p n}\left(S^{2 n+1}\right)_{(p)} \stackrel{\approx}{\rightarrow} \pi_{2 p n-2}\left(\Omega^{2} S^{2 n+1}\right) p \rightarrow \pi_{2 p n-2}\left(\Omega^{2} S^{2 n+1}, S^{2 n-1}\right)_{(p)} \rightarrow \\ \rightarrow H_{2 p n-2}\left(\Omega^{2} S^{2 n+1}, S^{2 n-1}\right)_{(p)}=\mathbb{Z} / p$где $(X, Y)_{p}$ – локализация по $p$ пары пространств (см. Хьюзмоллер Д. 1970). Пусть

$S: \pi_{4 n-1}\left(S^{2 n}\right) \rightarrow \pi_{4 n}\left(S^{2 n+1}\right)$– гомоморфизм надстройки. Тогда $H_{2}(S f)=H_{2}(f)$ (см. Хьюзмоллер Д. 1970). Инвариант Хопфа $H(f)$ можно определить и в терминах чисел Штифеля (см. Стонг Р. 1973): если $M^{n-1}$ – замкнутое оснащённое многообразие и $M^{n-1}=\partial V$, то характеристическое число Штифеля – Уитни $w_{n}(\nu)[V, M]$ нормального расслоения $\nu$ совпадает с инвариантом Хопфа $H_{2}(f)$ отображения $f: S^{n+r-1} \longrightarrow S^{r}$, представляющего класс оснащённых кобордизмов многообразия $M^{n-1}$.

Спектральная последовательность Адамса – Новикова позволяет построить высшие инварианты Хопфа. А именно, индуктивно определены инварианты $q_{i}: \operatorname{ker} q_{i-1} \longrightarrow E_{\infty}^{i,*}$ и $q_{0}: \pi_*^{S} \longrightarrow E_{\infty}^{0,*}$ (см. Новиков С. П. 1967). Из вида дифференциалов этой спектральной последовательности следует, что

$\operatorname{Ext}_{A}^{i}(\Omega_{U}, \Omega_{U}) \supset E_{\infty}^{i,*},\quad i=0,1,2,3$($\Omega_{U}$ — кольцо комплексных кобордизмов точки), и потому при $i=0,1,2,3$ инварианты $q_{i}$ лежат в $\operatorname{Ext}_{A}^{i},_{U}^{*}(\Omega_{U},\Omega_{U})$и называются инвариантами Хопфа – Новикова. При $i=1$ получается инвариант Адамса.

Значения, которые может принимать инвариант Хопфа, не являются произвольными. Например, для отображения $f: S^{4 n+1} \longrightarrow S^{2 n+1}$ инвариант Хопфа всегда равен нулю. Инвариант Хопфа по модулю $p$ $H_{(p)}: \pi_{2 m p}(S^{2 m+1}) \longrightarrow \mathbb{Z}_{2}$ тривиален, за исключением случаев: $p=2$, $m=1,2,4$ и $p>2$, $m=1$. С другой стороны, для любого четного числа $k$ существует отображение $f: S^{4 n-1} \longrightarrow S^{2 n}$ с инвариантом Хопфа, равным $k$ ($n$ — любое). При $n=1,2,4$ существуют отображения $f: S^{4 n-1} \longrightarrow S^{2 n}$ c инвариантом Хопфа, равным 1.