Я́дерная билине́йная фо́рма, билинейная форма $B(f, g)$ на декартовом произведении $F \times G$ локально выпуклых пространств $F$ и $G$, допускающая представление вида

$$B(f, g)=\sum_{i=1}^{\infty} \lambda_i\left\langle f, f_i^{\prime}\right\rangle\left\langle g, g_i^{\prime}\right\rangle,$$где $\left\{\lambda_i\right\}$ – суммируемая последовательность, $\left\{f_i^{\prime}\right\}$ и $\left\{g_i^{\prime}\right\}$ – равностепенно непрерывные последовательности в сопряжённых к $F$ и $G$ пространствах $F^{\prime}$ и $G^{\prime}$ соответственно, а значение линейного функционала $a^{\prime}$ на векторе $a$ обозначается $\left\langle a, a^{\prime}\right\rangle$. Все ядерные билинейные формы непрерывны. Если $F$ – ядерное пространство, то для любого локально выпуклого пространства $G$ все непрерывные билинейные формы на $F \times G$ являются ядерными (теорема о ядре). Этот результат принадлежит А. Гротендику (Grothendieck. 1955); в приведённой форме теорема о ядре сформулирована в (Пич. 1967), другие формулировки см. в (Гельфанд. 1961). Справедливо и обратное утверждение: если для пространства $F$ выполняется заключение теоремы о ядре, то это пространство ядерно.

Для пространств гладких финитных функций теорему о ядре впервые получил Л. Шварц (Schwartz. 1952). Пусть $D$ – ядерное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на прямой, наделённое стандартной локально выпуклой топологией Шварца, так что сопряжённое пространство $D^{\prime}$ состоит из всех обобщённых функций на прямой. Для частного случая $F=G=D$ теорема о ядре эквивалентна следующему утверждению: всякий непрерывный билинейный функционал на $D \times D$ имеет вид

$$B(f, g)=\left\langle f\left(t_1\right) g\left(t_2\right), F\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} F\left(t_1, t_2\right) f\left(t_1\right) g\left(t_2\right)\, d t_1 \,d t_2,$$где $f(t)$, $g(t) \in D$ и $F=F\left(t_1, t_2\right)$ – обобщённая функция от двух переменных. Аналогичную формулировку допускает теорема о ядре для пространств гладких финитных функций от нескольких переменных, пространств быстро убывающих функций и других конкретных ядерных пространств. Аналогичные результаты справедливы и для полилинейных форм.

Непрерывную билинейную форму $B(f, g)$ на $D \times D$ можно отождествить с непрерывным линейным оператором $A: D \rightarrow D^{\prime}$ с помощью равенства

$$B(f, g)=\langle g, A f\rangle,$$что приводит к формулировке теоремы Шварца о ядре: для каждого непрерывного линейного отображения $A: D \rightarrow D^{\prime}$ существует такая однозначно определённая обобщённая функция $F\left(t_1, t_2\right)$ от двух переменных, что

$$A: f\left(t_1\right) \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} F\left(t_1, t_2\right) f\left(t_2\right)\, d t_2$$для всех $f \in D$. Другими словами, $A$ является интегральным оператором с ядром $F$.