Фо́рмула Ки́рхгофа, интеграл Кирхгофа, формула

$$\begin{aligned} u(x, t)&=\frac{1}{4 \pi} \int_{\Omega} \frac{f(y, t-r)}{r}\,d \Omega_y+{} \\ &\quad{} +\frac{1}{4 \pi} \int_\sigma\left[\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n}-u \frac{\partial(1 / r)}{\partial n}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \tau} \frac{\partial r}{\partial n}\right]_{\tau=t-r}\, d \sigma_y, \tag{1} \end{aligned}$$которая выражает значение $u(x, t)$ решения неоднородного волнового уравнения

$$u_{t t}-u_{x_1 x_1}-u_{x_2 x_2}-u_{x_3 x_3}=f(x, t) \tag{2}$$в любой точке $x=\left(x_1, x_2, x_3\right) \in \Omega$ в момент времени $t$ через запаздывающий объёмный потенциал

$$v_1(x, t)=\frac{1}{4 \pi} \int_{\Omega} \frac{f(y, t-r)}{r}\, d \Omega_y,\quad y=\left(y_1, y_2, y_3\right),$$с плотностью $f$ и через значения функции $u(y, t)$ и её производных 1-го порядка на границе $\sigma$ области $\Omega$ в момент времени $\tau=t-r$. Здесь $\Omega$ – ограниченная область трёхмерного евклидова пространства с кусочно гладкой границей $\sigma$, $n$ – внешняя нормаль к $\sigma$, $r=|x-y|$ – расстояние между точками $x$ и $y$.

Пусть

$$\begin{aligned} v_1(x, t)&=\frac{1}{4 \pi} \int_\sigma \frac{\mu_1(y, t-r)}{r}\, d \sigma_y, \\ v_2(x, t)&=\frac{1}{4 \pi} \int_\sigma \frac{\partial^*}{\partial^* n} \frac{\mu_2(y, t-r)}{r}\, d \sigma_y, \end{aligned}$$где

$$\frac{\partial^*}{\partial^* n} \frac{\mu_2(y, t-r)}{r}=\frac{1}{r} \frac{\partial r}{\partial n} \frac{\partial \mu_{2}(y, t-r)}{\partial t}-\mu_2(y, t-r) \frac{\partial(1/r)}{\partial n}.$$Интегралы $v_1(x, t)$ и $v_2(x, t)$ называются запаздывающими потенциалами простого и двойного слоёв.

Формула Кирхгофа (1) означает, что любое дважды непрерывно дифференцируемое решение $u(x, t)$ уравнения (2) представляется в виде суммы запаздывающих потенциалов простого слоя, двойного слоя и объёмного потенциала:

$$u(x, t)=v_1(x, t)+v_2(x, t)+v_3(x, t).$$В случае, когда $u(x, t)=u(x)$, $f(x, t)=f(x)$ не зависят от $t$, формула Кирхгофа принимает вид

$$\begin{gathered} u(x)=\frac{1}{4 \pi} \int_{\Omega} \frac{f(y)}{r}\, d \Omega_y +\frac{1}{4 \pi} \int_\sigma\left[\frac{1}{r} \frac{\partial u(y)}{\partial n}-u(y) \frac{\partial(1/ r)}{\partial n}\right]\, d \sigma_y \end{gathered}$$и даёт решение уравнения Пуассона $\Delta u=-f(x)$.

Формула Кирхгофа широко применяется при решении целого ряда задач. Например, если $\Omega$ – шар $|y-x| \leqslant t$ радиуса $t$ с центром в точке $x$, то формула (1) преобразуется в соотношение

$$u(x, t)=\frac{1}{4 \pi} \int_{r \leqslant t} \frac{f(y, t-r)}{r}\, d y +t M_t[\psi]+\frac{\partial}{\partial t}\left( t M_t[\varphi]\right), \tag{3}$$где

$$M_t[\varphi]=\frac{1}{4 \pi} \int_{|y|=1} \varphi(x+t y)\, d s_y$$– среднее значение функции $\varphi(x)$ по поверхности сферы $|y-x|=t$,

$$\varphi(x)=\left.u\right|_{t=0}, \quad \psi(x)=\left.u_t\right|_{t=0}. \tag{4}$$Если $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ – заданные в шаре $|x| \leqslant R$ функции, имеющие непрерывные частные производные 3-го и 2-го порядков соответственно, a $f(x, t)$ дважды непрерывно дифференцируема при $|x|<R$, $0 \leqslant t \leqslant R-|x|$, то функция $u(x, t)$, заданная формулой (3), является регулярным решением задачи Коши (4) для уравнения (2) при $|x| < R$ и $t< R-|x|$.

Формула (3) также называется формулой Кирхгофа.

Формула Кирхгофа в виде

$$u(x, t)=t M_t[\psi]+\frac{\partial}{\partial t}\left( t M_t[\varphi]\right)$$для волнового уравнения

$$\Delta u=u_{t t} \tag{5}$$примечательна тем, что из неё следует принцип Гюйгенса: решение (волна) $u(x, t)$ уравнения (5) в точке $(x, t)$ пространства независимых переменных $x_1, x_2, x_3, t$ вполне определяется значениями $\varphi,$ $\partial \varphi / \partial n$ и $\psi$ на сфере $|y-x|=t$ с центром в точке $x$ и радиуса $|t|$.

Пусть дано уравнение нормального гиперболического типа

$$\sum_{i, j=1}^{m+1} a^{i j}(x) u_{x_i x_j}+ \sum_{j=1}^{m+1} b^j(x) u_{x_j}+c(x) u=f(x) \tag{6}$$с достаточно гладкими в некоторой $(m+1)$-мерной области $\Omega_{m+1}$ коэффициентами $a^{i j}(x)$, $b^f(x)$, $c(x)$ и правой частью $f(x)$, т. е. уравнение, форма

$$\sum_{i, j=1}^{m+1} a^{i j}(x) \xi_i \xi_j$$которого в любой точке $x \in \Omega_{m+1}$ с помощью невырожденного линейного преобразования приводится к виду

$$y_0^2-\sum_{i=1}^m y_i^2.$$Формула Кирхгофа обобщена на уравнение (6) в случае, когда число $m+1$ независимых переменных $x_1, \ldots, x_{m+1}$ чётно (Mathisson M. 1932). При этом существенным моментом было построение функции $\varphi$, обобщающей на случай уравнения (6) ньютоновский потенциал $1/r$. Для частного случая уравнения (6)

$$u_{t t}-\sum_{i=1}^m u_{x_i x_i}=0,\quad m \equiv 1(\bmod 2) \tag{7}$$обобщённая формула Кирхгофа принимает вид

$$\begin{gathered} u(y, t)=\gamma \int_\sigma \sum_{i=1}^k(-1)^k\left\{\frac{\partial \overset{k-i+1}{\varphi}}{\partial n}\left[\frac{\partial^{i-1} u}{\partial t^{i-1}}\right]-\right.\\ \left.-\overset{k-i+1}{\varphi}\left[\frac{\partial^i u}{\partial n \partial t^{i-1}}\right]- \overset{k-i+1}{\varphi} \frac{\partial r}{\partial n}\left[\frac{\partial^i u}{\partial t^i}\right]\right\}\, d \sigma_x, \tag{8} \end{gathered}$$где $\gamma$ – некоторое положительное число, $\sigma$ – кусочно гладкая граница $m$-мерной ограниченной области $\Omega_m$, содержащей внутри себя точку $y$, $n$ – внешняя нормаль к $\sigma$;

$$\begin{gathered} \overset{i}{\varphi} =\gamma_i r^{-k-i+1},\quad \overset{k}{\varphi}=r^{2-m},\quad r=|y-x|; \\ \gamma_i=\mathrm{const},\quad i=1, \ldots, k-1;\quad k=(m-1)/2; \end{gathered}$$$[\psi]$ означает запаздывающее значение $\psi(x,t)$:

$$[\psi(x,t)]=\psi(x, t-r).$$Формулу (8) для уравнения (6) иногда называют формулой Кирхгофа – Соболева.