Абсолю́тная усто́йчивость, устойчивость в целом тривиального решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (или уравнений другого типа), равномерная для всех систем некоторого класса. Термин «абсолютная устойчивость» подразумевает задание класса систем и указание, в каком смысле понимается устойчивость и равномерность. Кроме обыкновенных дифференциальных уравнений рассматриваются также уравнения в конечных разностях, интегральные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, уравнения с частными производными.

Пусть рассматривается система, описываемая дифференциальным уравнением$$\tag{1}\dot{x}(t)=A x(t)+B \xi(t)$$и некоторым множеством $\mathfrak{M}$ пар функций $\{x(\cdot), \xi(\cdot)\}$. Здесь $A$, $B$ – постоянные комплексные матрицы размеров $N \times N$ и $N \times n$ соответственно; $x(t)$ и $\xi(t)$ – векторные комплекснозначные функции порядков $N$ и $n$ соответственно, причём $\xi(t)$ локально суммируема, а $x(t)$ абсолютно непрерывна. В приложениях обычно $A$, $B$, $x(t)$, $\xi(t)$ действительны, уравнение (1) описывает линейную часть системы, а множество $\mathfrak{M}$ определяется свойствами нелинейных блоков системы. В простейшем случае имеется один фиксированный нелинейный блок, который описывается уравнением$$\tag{2}\xi(t)=\varphi[\sigma(t), t], \text { где } \sigma(t)=C x(t)$$$[\sigma(t)$ и $\xi(t)$ – скалярные функции, $C$ – $(1 \times N)$-матрица; $\sigma(t)$, $\xi(t)$, $C$ действительны]. В этом случае $\mathfrak{M}$ – множество всех пар $\{x(\cdot), \xi(\cdot)\}$, для которых выполнено (2).

Многочисленные исследования конкретных нелинейных систем привели к пониманию того, что в первую очередь следует учитывать квадратичные соотношения, связывающие $\xi(t)$ и $x(t)$, описываемые несколько специфически. Пусть, например, относительно функций $\varphi(\sigma, t)$ в (2) известно лишь, что для всех $t \geqslant 0$ и $\sigma$$$\mu_1 \leqslant \varphi(\sigma, t) / \sigma \leqslant \mu_2.$$В этом случае $\mathfrak{M}=\mathfrak{M}\left[\mu_1, \mu_2\right]$ есть множество всех $x(t)$ и $\xi(t)$, для которых почти всюду $\mu_1 \leqslant \xi(t) / \sigma(t) \leqslant \mu_2$, где $\sigma(t)=C x(t)$, или иначе$$\tag{3}\left[\mu_2 \sigma(t)-\xi(t)\right]\left[\xi(t)-\mu_1 \sigma(t)\right] \geqslant 0.$$Ниже $n \geqslant 1$, $F(x, \xi)$ – эрмитова форма на $\mathbb{C}^N \times \mathbb{C}^n$. В общем случае рассматривается класс $\mathfrak{M}_{F, Л}$ пар функций $x(t)$, $\xi(t)$, удовлетворяющих почти всюду локальной связи$$\tag{4}F[x(t), \xi(t)] \geqslant 0,$$а также класс $\mathfrak{M}_{F, И}(\gamma)$ пар функций $x(t)$, $\xi(t)$, удовлетворяющих интегральной связи$$\tag{5}\exists T_k \rightarrow \infty: \int_0^{T_k}F[x(t), \xi(t)] d t \geqslant-\gamma$$[числа $T_k$ зависят от $x(\cdot)$, $\xi(\cdot)$]. Разнообразные практически важные нелинейные блоки («люфт», гистерезисные нелинейности, импульсные модуляторы разных типов) удовлетворяют связи (5) с подходяще выбранной формой $F(x, \xi)$.

Ниже предполагается, что уравнение (1) управляемо (см. Гелиг. 1978), т. е. что ранг $(N \times N n)$-матрицы$$\left\|B, A B, \ldots, A^{N-1} B\right\|$$равен $N$ и что выполнено следующее условие минимальной устойчивости: существует такая $(n \times N)$-матрица $R$, что $A+B R$ – матрица Гурвица и$$F(x, R x) \geqslant 0 \text{ для любого } x,$$где $F$ – форма в (4) или (5). Пусть $D$, $E$ – произвольные матрицы порядков $m \times N$ и $m \times n$ соответственно, $\|D\|+\|E\| \neq 0$, и по ним формируется «выход» системы (1):$$\tag{6}\eta(t)=D x(t)+E \xi(t).$$Различают действительный случай, когда все величины в (1), (6) и коэффициенты формы $F(x, \xi)$ действительны, и комплексный случай, когда они, вообще говоря, комплексны. Множество всех действительных $x(\cdot)$, $\xi(\cdot)$, удовлетворяющих (4) [или (5)], ниже обозначено $\mathfrak{M}_{F, Л}^{\partial}$ соответственно $\mathfrak{M}_{F, И}^{\partial}(\gamma)$. Пусть$$\|\eta(\cdot)\|^2=\int_0^{\infty}|\eta(t)|^2 d t.$$Система (1) называется абсолютно устойчивой по выходу (6) в классе $\mathfrak{M}$, если существуют такие постоянные $C_1 \geqslant 0$, $C_2 \geqslant 0$, что из (1), (6) и $[x(·), \xi(\cdot)] \in \mathfrak{M}$ следует конечность $\|\eta(\cdot)\|$ и оценка$$\tag{7}\|\eta(\cdot)\|^2 \leqslant C_1|x(0)|^2+\bar{C}_2.$$Квадратичный критерий абсолютной устойчивости: для абсолютной устойчивости системы (1) по выходу (6) в классе $\mathfrak{M}_{F, И}(\gamma)$ [в действительном случае – в классе $\mathfrak{M}_{F, И}^{\partial}(\gamma)$] необходимо и достаточно, чтобы$$\tag{8}\exists \delta>0: F(\tilde{x}, \tilde{\xi}) \leqslant-\delta|\tilde{\eta}|^2$$для всех комплексных $\tilde{x}$, $\tilde{\xi}$, $\tilde{\eta}$ и действительных $\omega$, связанных соотношениями$$\tag{9}i \omega \tilde{x}=A \tilde{x}+B \tilde{\xi}, \quad \tilde{\eta}=D \tilde{x}+E \tilde{\xi}.$$При выполнении (8), (9) в (7) $C_2=C_2^{\prime} \gamma$, причём числа $C_1$ и $C_2^{\prime}$ не зависят от $\gamma$ в (5). Если $\eta(t)=x(t)$ и выполнено (4), а также (8) (для $\tilde{\eta}=\tilde{x}$ ), то имеет место экспоненциальная устойчивость в целом:$$\exists C>0, \quad \varepsilon>0 \:$$$$\tag{10}|x(t)| \leqslant C e^{-\varepsilon\left(t-t_0\right)}\left|x\left(t_0\right)\right|\ \ \ \ [\text { для всех } x(\cdot), t \geqslant t_0].$$Пусть $\operatorname{det}\|A-i \omega I\| \neq 0$ для всех $\omega$ [здесь $I$ – единичная $(N \times N)$-матрица]. Для абсолютной устойчивости системы (1) по выходу $\eta(t)=[x(t), \xi(t)]$ в классе $\mathfrak{M}_{F,Л}$ необходимо и достаточно, чтобы для любых $\omega$, $-\infty \leqslant \omega \leqslant+\infty$, и любых комплексных $\widetilde{\xi} \neq 0$ было выполнено неравенство$$\tag{11}F\left[\|A-i \omega I\|^{-1} B \tilde{\xi}, \tilde{\xi}\right]<0.$$Для класса $\mathfrak{M}_{F,Л}$ аналогичное утверждение справедливо лишь в отношении достаточности. Необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости в классе $\mathfrak{M}_{F, Л}$ известны лишь для специальных форм $F$, а эффективно проверяемые условия – лишь для $N=2$ (см. Якубович. 1975; Пятницкий. 1968).

Из соотношений (9) следует$$\tilde{\eta}=W^{\left(\eta\right)}(i \omega) \xi,\quad \text {где}\quad W^{(\eta)}(i \omega)=E+D\|i \omega I-A\|^{-1} B;$$элемент $W_{j k}^{(\eta)}$ матрицы $W^{(\eta)}(i \omega)$ называется частотной характеристикой от входа $\xi_k$ к выходу $\eta_j$. Критерии, устанавливающие те или иные свойства системы, выраженные через частотные характеристики, называются частотными критериями устойчивости. Достоинствами частотных критериев являются их удобство в практических применениях и инвариантность относительно преобразований $x^{\prime}=S x(S= \operatorname{const}, \operatorname{det} S \neq 0)$ системы (1).

В действительном случае с $n=1$ для класса $\mathfrak{M}\left[\mu_1\right., \left.\mu_2\right]$, определённого соотношением (3), условие (11) приобретает вид$$\tag{12}\operatorname{Re}\left\{[\mu_2 \overline{W(i \omega)}-1]\left[1-\mu_1 W(i \omega)\right]\right\}>0,$$где $W(i \omega)=C(A-i \omega I)^{-1} B$ – частотная характеристика от входа $\xi(t)$ к выходу $[- \sigma(t)]$. Частотный критерий (12) (круговой критерий) означает, что частотная характеристика $W(i \omega)$, $-\infty \leqslant \omega \leqslant+\infty$, не пересекается с окружностью, имеющей центр в точке $\left(-\mu_1^{-1}-\mu_2^{-1}\right) / 2$ и проходящей через точки $\left(-\mu_1^{-1}\right)$, $\left(-\mu_2^{-1}\right)$. Условие минимальной устойчивости в этом случае означает, что асимптотически устойчива линейная система (1) с $\xi=\mu \sigma$, $\sigma=C x$ с каким-либо $\mu \in\left[\mu_1, \mu_2\right]$. Критерий (12) является естественным распространением критерия Михайлова – Найквиста на нелинейные системы.

Исторически первым частотным критерием абсолютной устойчивости для нелинейных систем был критерий Попова для $n=1$ и класса $\mathfrak{M}$ стационарных нелинейностей $\xi(t)=\varphi[\sigma(t)]$, где $0 \leqslant \sigma \varphi(\sigma) \leqslant \mu_0 \sigma^2$ (см. Айзерман, Гантмахер. 1963). Он имеет вид:$$\tag{13}\begin{gathered}\exists \vartheta: \mu_0^{-1}+\operatorname{Re} W(i \omega)+\vartheta \operatorname{Re}[i \omega W(i \omega)]>0,\\ 0 \leqslant \omega \leqslant \infty.\end{gathered}$$Условие минимальной устойчивости в этом случае равносильно тому, что матрица $A$ в (1) – матрица Гурвица.

Существует определённая связь частотных критериев (6), (12), (13) и других с фактом существования глобальной функции Ляпунова. Частотные критерии абсолютной устойчивости обычно охватывают все критерии, которые могут быть получены с помощью функций Ляпунова из некоторых многопараметрических классов функций. Например, критерий (12) – необходимое и достаточное условие существования функции$$V(x)=x^* H x$$[$H=H^*= \operatorname{const} -(N \times N)$-матрица, * – знак эрмитова сопряжения], такой, что её производная в силу системы (11), (2) с произвольной нелинейностью (2) [для которой ] удовлетворяет условию $$V(x) / d t<0 \text { при } x \neq 0.$$Аналогично частотное условие Попова (13) охватывает все критерии, которые можно установить, используя функции Ляпунова вида$$V(x)=x^* H x+\vartheta \int_0^\sigma \varphi(\sigma) d \sigma.$$Известно много других частотных критериев абсолютной устойчивости для разных классов нелинейностей (см. Якубович. 1975; Попов. 1970; Воронов. 1979; Резван. 1983). Они распространены, в частности, на важные для приложений случаи неединственного состояния равновесия (см. Гелиг. 1978). Частотные критерии абсолютной устойчивости позволили выделять классы нелинейных систем общего вида, для которых факт устойчивости в целом устанавливается особенно просто. Например, для системы (1) с $\xi=\varphi(\sigma)$, $\sigma=C x$, $N \leqslant 3$, $n=1$ (т. е. для произвольной системы не выше 3-го порядка с одной нелинейностью) имеет место асимптотическая устойчивость в целом, если $\mu_1 \leqslant \varphi^{\prime}(\sigma) \leqslant \mu_2$ и если любая линейная система с $\xi=\mu \sigma$, $\mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2$, асимптотически устойчива. Для систем 4-го (и более высокого) порядка аналогичное утверждение ошибочно. Более того, при $N \geqslant 4$, $n=1$ существуют такие системы (1) и нелинейности $\xi=\varphi(\sigma)$, $\mu_1 \leqslant \varphi^{\prime}(\sigma) \leqslant \mu_2$, что матрица любой линеаризованной системы с $\xi=\mu \sigma$, $\mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2$, – матрица Гурвица, а нелинейная система имеет периодическое решение.

При замене условия минимальной устойчивости аналогичным условием минимальной неустойчивости неравенства (8), (11), (12), (13) становятся критериями абсолютной неустойчивости (при соответствующем понимании последнего термина). Пусть, например, в действительном случае с $n=1$ матрица коэффициентов системы (1) с $\xi=\mu \sigma$, $\sigma=C x$ (т. е. матрица $A+B \mu C$ ) при некотором $\mu$, $\mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2$, имеет $k \geqslant 1$ собственных значений в полуплоскости $\operatorname{Re} \lambda>0$ и выполнено частотное условие (12). Тогда у системы (1), (2) с функцией $\varphi(\sigma, t)$, удовлетворяющей условию $\mu_1 \leqslant \varphi(\sigma, t) / \sigma \leqslant \mu_2$ [а также у системы (1), (3)], имеются решения $x(t)$, для которых$$|x(t)| \geqslant \mathrm{Ce}^{\varepsilon t}|x(0)| \text { при } t \geqslant 0,$$где постоянные $C>0$, $\varepsilon>0$ – одни и те же для всех систем указанного класса. Соответствующие векторы $x(0)$ заполняют конус $x(0)^* H x(0)<0$, где $H=H^*$ – некоторая матрица, имеющая $k$ отрицательных собственных значений.

Аналогично при $n=1$ условие (13) является частотным критерием абсолютной неустойчивости системы (1) с $\sigma=C x$ в классе стационарных нелинейностей $\xi(t)=\varphi[\sigma(t)]$, где $0 \leqslant \sigma \varphi(\sigma) \leqslant \mu_0 \sigma^2$, если в (1) матрица $A$ имеет собственные значения в полуплоскости $\operatorname{Re} \lambda>0$.

В теории абсолютной устойчивости установлены также аналогичные частотные критерии диссипативности, конвергенции, существования периодических движений (автоколебаний и вынужденных режимов) и др. (см., например, Якубович. 1975; Воронов. 1979 и литературу в Гелиг. 1978; Якубович. 1975; Воронов. 1979).