Абсолю́тная непреры́вность фу́нкции мно́жества, понятие, употребляемое обычно применительно к счётно-аддитивным функциям, определённым на $\sigma$-кольце $S$ подмножеств множества $X$. Так, если $\mu$, $\nu$ – две определённые на $S$ счётно-аддитивные функции со значениями из расширенной числовой прямой $[ -\infty, \infty]$, то $\nu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ (символически это записывается в виде $\nu \ll\mu$), если $|\mu|(E) = 0$ влечёт $\nu(E) = 0$ (здесь $|\mu|$ – полная вариация меры $\mu$):$$\begin{aligned} |\mu| &= \mu^+ + \mu^- ,\\ \mu^+ &= \sup\,\{\mu(F)\colon E \supset F \in S\}, \\ \mu^-& = - \inf\,\{\mu(F)\colon E \supset F \in S\}, \end{aligned}$$$\mu^+$ и $\mu^-$ – меры, называемые положительной и отрицательной вариациями $\mu$; по теореме Жордана – Хана $\mu = \mu^+ + \mu^-$). Оказывается, что соотношения 1) $\nu \ll\mu$, 2) $\nu^+ \ll \mu$, $\nu^- \ll\mu$, 3) $|\nu| \leqslant |\mu|$ равносильны. Если мера $\nu$ конечна, то $\nu \ll \mu$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta>0$ такое, что $|\mu| < \delta$ влечёт $|\nu| < \varepsilon$. В силу теоремы Радона – Никодима, если $\mu$, $\nu$ – вполне $\sigma$-конечны (т. е. $X \in S$ и существует последовательность $\{E_n\}$, $n =1, 2,\dots,$ такая, что $$\bigcup\nolimits_{n=1}^\infty E_n = X, \quad |\mu(E_n)|, \, |\nu(E_n)| < \infty,$$ и $\nu \ll\mu$), то на $X$ существует конечная измеримая функция $f$ такая, что $$\nu(E) = \int_E f\, d\mu, \quad E \in S.$$Обратно, если $\mu$ вполне $\sigma$-конечна и интеграл $\displaystyle \int f \, d\mu$ имеет смысл, то $\displaystyle \int_E f \, d\mu$ как функция множества $E$ абсолютно непрерывна по $\mu$. Если $\mu$ и $\nu$ вполне $\sigma$-конечные меры на $(X, S)$, то существуют однозначно определённые вполне $\sigma$-конечные меры $\nu_1$ и $\nu_2$ такие, что $\nu = \nu_1 + \nu_2$, $\nu_1 \ll\mu$ и $\nu_2$ сингулярна относительно $\mu$ (т. е. существует множество $E \in S$ такое, что $| \nu_2| (A) = 0$, $|\mu| (X \setminus A) = 0$) (теорема Лебега). Мера, определённая на борелевских множествах конечномерного евклидова пространства (или, более общим образом, локально компактной группы), называется абсолютно непрерывной, если она абсолютно непрерывна относительно меры Лебега (меры Хаара). Неотрицательная мера $\mu$ на борелевских множествах действительной прямой абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда отвечающая ей функция распределения $F (x) = \mu \{(-\infty, x)\}$ абсолютно непрерывна (как функция действительного переменного). Понятие абсолютной непрерывности функций множества может быть определено и для конечно-аддитивных функций, и для функций с векторными значениями.