H-замкнутое пространство

H'''-за́мкнутое простра́нство (абсолютно замкнутое пространство), хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем хаусдорфовом пространстве. Более подробно, хаусдорфово пространство ${\displaystyle X}$ H-замкнуто, если для любого гомеоморфного вложения ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ в хаусдорфово пространство ${\displaystyle Y}$ подпространство ${\displaystyle f(X)}$ замкнуто в ${\displaystyle Y}$.

Для хаусдорфова пространства ${\displaystyle X}$ следующие условия эквивалентны:

а) пространство ${\displaystyle X}$ H-замкнуто;

б) пересечение замыканий элементов любого центрированного семейства открытых в ${\displaystyle X}$ множеств непусто, т. е. если ${\displaystyle \{V_{s}\}_{s\in S}}$ – центрированное семейство открытых в ${\displaystyle X}$ множеств, то ${\displaystyle \displaystyle \bigcap _{s\in S}{\overline {V_{s}}}\neq \varnothing }$;

в) каждый ультрафильтр в семействе всех открытых в ${\displaystyle X}$ множеств сходится в ${\displaystyle X}$;

г) каждое открытое покрытие пространства ${\displaystyle X}$ содержит конечное подсемейство, замыкания элементов которого покрывают ${\displaystyle X}$ (или, что равносильно, объединение которого всюду плотно в ${\displaystyle X}$), т. е. для каждого открытого покрытия ${\displaystyle \{U_{s}\}_{s\in S}}$ пространства ${\displaystyle X}$ найдётся такой конечный набор ${\displaystyle s_{1},s_{2}\ldots s_{k}}$, что ${\displaystyle {\overline {U}}_{s_{1}}\cup {\overline {U}}_{s_{2}}\cup \ldots \cup {\overline {U}}_{s_{k}}=X}$.

Любое компактное хаусдорфово пространство H-замкнуто (это одно из фундаментальных свойств компактности); обратное в общем случае неверно. Имеет место следующий критерий: хаусдорфово пространство компактно в том и только том случае, если оно регулярно и H-замкнуто. Существуют нерегулярные (и, следовательно, некомпактные) H-замкнутые пространства. Примером такого пространства может служить отрезок ${\displaystyle \mathbb {I} =[0,1]}$ вещественной прямой, топология которого дополнена множеством ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap \mathbb {I} }$ (где ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ – множество рациональных чисел), т. е. топология на этом пространстве определяется как наименьшая из топологий, относительно которой открыты: а) обычные открытые подмножества отрезка ${\displaystyle \mathbb {I} }$, б) множество ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap \mathbb {I} }$.

Так же как и компактность, свойство H-замкнутости мультипликативно, т. е. топологическое произведение семейства ${\displaystyle \{X_{s}\}_{s\in S}}$ H-замкнутых пространств H-замкнуто; обратно, если все ${\displaystyle X_{s}}$ непусты и их произведение H-замкнуто, то каждое ${\displaystyle X_{s}}$ является H-замкнутым. H-замкнутость сохраняется непрерывными отображениями на хаусдорфовы пространства, т. е. если ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ – непрерывное отображение H-замкнутого пространства ${\displaystyle X}$ на хаусдорфово пространство ${\displaystyle Y}$, то ${\displaystyle Y}$ H-замкнуто.

В отличие от компактности свойство H-замкнутости в общем случае не наследуется замкнутыми подпространствами (т. е. замкнутое подпространство H-замкнутого пространства может и не быть 𝐻-замкнутым), но наследуется подпространствами, являющимися каноническими замкнутыми множествами. Хаусдорфово пространство компактно в том и только том случае, если все его замкнутые подпространства H-замкнуты.

Любое хаусдорфово пространство может быть расширено до H-замкнутого. Более точно, для каждого хаусдорфова пространства ${\displaystyle X}$ существует единственное с точностью до гомеоморфизма H-замкнутое пространство ${\displaystyle \tau X}$, содержащее ${\displaystyle X}$ в качестве всюду плотного подмножества и обладающее свойством: для каждого непрерывного отображения ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ пространства ${\displaystyle X}$ в хаусдорфово пространство ${\displaystyle Y}$, такого, что ${\displaystyle {\overline {f(X)}}=Y}$, найдётся подпространство ${\displaystyle Z}$ пространства ${\displaystyle \tau X}$, содержащее ${\displaystyle X}$, и продолжение ${\displaystyle F\colon Z\to Y}$ отображения ${\displaystyle f}$, удовлетворяющее условию ${\displaystyle F(Z)=Y}$. При этом ${\displaystyle X}$ открыто в ${\displaystyle \tau X}$, а подпространство ${\displaystyle \tau X\setminus X}$ пространства ${\displaystyle \tau X}$ дискретно. Пространство ${\displaystyle \tau X}$ называется катетовским расширением пространства ${\displaystyle X}$.

H-замкнутые пространства были определены (под названием «абсолютно замкнутых пространств») П. С. Александровым и П. С. Урысоном(Alexandroff. 1923^[1]); катетовское расширение описано М. Катетовым (Katětov. 1940).