Чёрная дыра Райсснера – Нордстрёма

Все свойства чёрной дыры Райсснера – Нордстрёма определяются метрикой соответствующего сферически-симметричного пространства-времени (называемой метрикой Райсснера – Нордстрёма), в котором квадрат четырёхмерного интервала ${\displaystyle ds}$ между двумя бесконечно близкими событиями равен

${\displaystyle {ds}^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}{dt}^{2}-{\frac {{dr}^{2}}{\displaystyle 1-{\frac {r_{g}}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}}}-r^{2}\left({d\theta }^{2}+\sin ^{2}{\theta }{d\varphi }^{2}\right).}$ (1)

Здесь ${\displaystyle r,\theta ,\varphi }$ – соответственно радиальная и две угловые координаты в сферической системе координат с центром в сингулярности; ${\displaystyle t}$ – временная координата; ${\displaystyle G}$ – гравитационная постоянная, ${\displaystyle c}$ – скорость света в вакууме; ${\displaystyle r_{g}=2GM/c^{2}}$ – гравитационный радиус, ${\displaystyle M}$ – параметр массы (если чёрная дыра образовалась в результате гравитационного коллапса физического объекта, то параметр массы равен массе этого объекта); ${\displaystyle Q=q{\sqrt {Gk}}/c^{2}}$ – параметр заряда, имеющий размерность длины, ${\displaystyle q}$ – электрический заряд, ${\displaystyle k}$ – постоянная, входящая в закон Кулона. При ${\displaystyle q\!\rightarrow \!0}$ решение Райсcнера – Нордстрёма переходит в решение Шварцшильда.

На рис. 1 изображены световые конусы для пространства-времени, описываемого решением Райсснера – Нордстрёма. Предполагается движение по радиальным направлениям, поэтому используются только координаты ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle t}$. Это координаты удалённого наблюдателя в его собственной системе отсчёта. Угол при вершине световых конусов определяется выражением для скорости света (фотонов), которая измеряется удалённым наблюдателем:

${\displaystyle v_{c}=\pm \ c\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)}$.

Это выражение следует из формулы (1) и уравнения ${\displaystyle ds^{2}\!=\!0}$ для безмассовых частиц. Скорости массивных частиц всегда меньше световых, поэтому их мировые линии расположены внутри этих конусов. Толстые вертикальные линии, обозначенные как ${\displaystyle r_{-}}$ и ${\displaystyle r_{+}}$, также удовлетворяют уравнению ${\displaystyle ds^{2}\!=\!0}$ и дополнительно соответствуют условию ${\displaystyle v_{c}\!=\!0}$. Они обозначают сферические поверхности ${\displaystyle r\!=\!r_{-}}$ и ${\displaystyle r\!=\!r_{+}}$, которые называются горизонтами событий (соответственно, внутренним и внешним). Их координаты равны

${\displaystyle r_{-}={\frac {r_{g}}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {r_{g}}{2}}\right)^{2}-Q^{2}}},}$ (2)

${\displaystyle r_{+}={\frac {r_{g}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {r_{g}}{2}}\right)^{2}-Q^{2}}}.}$ (3)

На значительном удалении от центральной точки (правая часть рис. 1, при ${\displaystyle r\!>\!r_{+}}$) образующие конусов наклонены к осям координат под углом 45°, т. е. так, как в плоском пространстве-времени (пространстве-времени с нулевой кривизной, или в пространстве-времени Минковского). По мере приближения к внешнему горизонту ${\displaystyle r\!=\!r_{+}}$ световые конусы становятся у́же, а на поверхности ${\displaystyle r\!=\!r_{+}}$ полностью «сжимаются», превращаясь в вертикальную линию. Это значит, что в собственной системе отсчёта удалённого наблюдателя скорость света на поверхности ${\displaystyle r\!=\!r_{+}}$ становится «нулевой» (это также видно из вышеназванного условия ${\displaystyle v_{c}\!=\!0}$) и, следовательно, никакие частицы, включая фотоны, не могут достигнуть этой поверхности или покинуть её. С точки зрения удалённого наблюдателя все процессы на горизонте событий чёрной дыры «замораживаются». Траектории электрически нейтральных и заряженных частиц будут различными, но световые конусы их ограничивают одинаково.

Если рассматривать падение частицы в чёрную дыру не в системе отсчёта удалённого наблюдателя, а в её собственной системе отсчёта, то она может достигнуть горизонта событий и даже пересечь его, но после этого также не сможет вернуться обратно. Это свидетельствует о том, что гравитационное притяжение в окрестностях горизонтов событий является экстремально сильным.

Лучи света, проходящие вблизи чёрной дыры, отклоняются от прямой линии. Чем ближе к горизонту событий проходит луч, тем больше угол отклонения. Как и в случае с чёрной дырой Шварцшильда, на определённом расстоянии от горизонта событий луч света может развернуться на 180° и уйти в обратном направлении. При ещё меньшем расстоянии угол отклонения станет равным 360° и больше. Может оказаться, что луч сделает полный оборот и останется на круговой (замкнутой) орбите вокруг чёрной дыры. Эта траектория луча называется фотонной орбитой, она неустойчива: после любого возмущения луч либо покинет чёрную дыру, либо «упадёт» в неё.

На горизонтах событий ${\displaystyle r\!=\!r_{+}}$ и ${\displaystyle r\!=\!r_{-}}$ коэффициент при ${\displaystyle c^{2}dt^{2}}$ в формуле для интервала (1) обращается в ноль, а коэффициент при ${\displaystyle dr^{2}}$ становится бесконечным. Тем не менее это не означает наличие на этой сфере геометрической особенности (сингулярности) пространства-времени, поскольку инварианты тензора кривизны на этих поверхностях в бесконечность не обращаются. Расходимость компонент метрического тензора на горизонтах в данном случае – это следствие выбора конкретной системы координат ${\displaystyle (t,r)}$. Другими словами, это координатная, а не истинная сингулярность. По этой причине невозможно описать достижение пробными частицами горизонта ${\displaystyle r\!=\!r_{+}}$ в координатах ${\displaystyle (t,r)}$.

Между ${\displaystyle r_{+}}$ и ${\displaystyle r_{-}}$ коэффициент при ${\displaystyle c^{2}dt^{2}}$ становится отрицательным, а коэффициент при ${\displaystyle dr^{2}}$ – положительным, т. е. координата ${\displaystyle t}$ становится пространственной, а координата ${\displaystyle r}$ становится временно́й. По этой причине световые конусы развернутся на 90° (рис. 1). Из расположения световых конусов становится очевидным, что массивные частицы, распространяясь от внешнего горизонта ${\displaystyle r_{+}}$, неминуемо достигнут внутреннего горизонта ${\displaystyle r_{-}}$, а фотоны будут стремиться к ${\displaystyle r_{-}}$ только асимптотически – это также координатный эффект. При ${\displaystyle r\!<\!r_{-}}$ исходный смысл координат ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle r}$ восстанавливается. По этой причине истинная сингулярность при ${\displaystyle r\!=\!0}$ в чёрной дыре Райсснера – Нордстрёма на самом деле представляет собой точку (в отличие от чёрной дыры Шварцшильда, где ${\displaystyle r\!=\!0}$ – это пространственноподобная гиперповерхность). Положение световых конусов при ${\displaystyle r\!<\!r_{-}}$ говорит о том, что в этой области отсутствует неизбежность падения в сингулярность.

Соотношение между положением горизонтов ${\displaystyle r_{+}}$ и ${\displaystyle r_{-}}$ следующее. Как видно из формул (2) и (3), в случае ${\displaystyle q\!\rightarrow \!0}$ чёрная дыра Райсснера – Нордстрёма переходит в чёрную дыру Шварцшильда с единственным горизонтом: ${\displaystyle r_{+}\!=\!r_{g}}$, ${\displaystyle r_{-}\!=\!0}$. При добавлении малого электрического заряда ${\displaystyle q}$ появляется внутренний горизонт с малой величиной ${\displaystyle r_{-}}$ (меньшей, чем ${\displaystyle r_{+}}$), а величина ${\displaystyle r_{+}}$ становится меньше ${\displaystyle r_{g}}$. По мере роста ${\displaystyle q}$ величина ${\displaystyle r_{-}}$ увеличивается, а величина ${\displaystyle r_{+}}$ уменьшается. При ${\displaystyle Q\!=\!r_{g}/2}$ два горизонта событий ${\displaystyle r_{-}}$ и ${\displaystyle r_{+}}$ совпадут, образуя единый горизонт. Дальнейшее увеличение ${\displaystyle q}$ приводит к выполнению условия ${\displaystyle Q\!>\!r_{g}/2}$ и исчезновению горизонтов событий, а значит, и отсутствию чёрной дыры; истинная сингулярность становится «голой» сингулярностью. Теоретически такая ситуация возможна, однако существует принцип космической цензуры (пока не доказанный), согласно которому в нашей Вселенной не должно существовать «голых» сингулярностей.

Пусть вдоль радиальной координаты ${\displaystyle r}$ снаружи сферы ${\displaystyle r\!=\!r_{+}}$ расположено множество неподвижных наблюдателей. Все наблюдатели оснащены одинаковыми собственными часами, которые для каждого из них идут одинаково (но в сравнении друг с другом их время может течь по-разному). Для наблюдателя на бесконечности (при бесконечном ${\displaystyle r}$) его собственное время (показание его собственных часов) совпадает с координатным временем ${\displaystyle t}$. Наблюдаемые им показания часов ${\displaystyle \tau }$ наблюдателей, более близких к горизонту событий чёрной дыры, определяются выражением

${\displaystyle \tau =t{\sqrt {1-{\frac {r_{g}}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}}},}$ (4)

которое вытекает из временно́й части формулы (1) для интервала. Из выражения (4) следует, что при ${\displaystyle r\!>\!r_{+}}$ чем меньше ${\displaystyle r}$, тем меньше ${\displaystyle \tau }$, т. е. для удалённого наблюдателя чем часы ближе к внешнему горизонту событий чёрной дыры, тем они идут медленнее. При ${\displaystyle r\!=\!r_{+}}$ часы должны застыть ${\displaystyle (\tau \!=\!0}$ при любом ${\displaystyle t)}$. Это относится не только к часам, но и ко всем наблюдаемым процессам.

С эффектом замедления времени связан эффект гравитационного красного смещения. Пусть первый наблюдатель (излучатель), находящийся вблизи внешнего горизонта событий ${\displaystyle r\!=\!r_{+}}$ (но снаружи него), посылает второму (удалённому) наблюдателю световой сигнал, который в системе отсчёта излучателя имеет частоту ${\displaystyle \nu _{0}}$. Для удалённого наблюдателя часы излучателя идут медленнее его собственных, поэтому и световой сигнал он будет принимать с меньшей частотой ${\displaystyle \nu \!<\!\nu _{0}}$, т. е. происходит смещение частоты в длинноволновую (красную) область спектра. Чем ближе к сфере радиуса ${\displaystyle r_{+}}$ находится источник сигнала, тем больше красное смещение. Если удалённый наблюдатель попытается зафиксировать сигнал, испущенный со сферы радиуса ${\displaystyle r_{+}}$, он обнаружит, что сигнала нет, т. е. его частота нулевая.

Помимо того, что координаты ${\displaystyle (t,r)}$ в формуле (1) и на рис. 1 являются сингулярными на горизонтах событий, они не покрывают всей геометрии пространства-времени Райсснера – Нордстрёма. Для описания полной геометрии чёрных дыр используются, например, конформные координаты и соответствующие им конформные диаграммы Пенроуза. На рис. 2 представлена такая диаграмма для геометрии Райсснера – Нордстрёма, где полное пространство-время представлено бесконечным набором идентичных «фрагментов».

Четырёхугольник ABCD соответствует диаграмме на рис. 1. «Наша Вселенная» в данном случае определяется как область пространства-времени, находящаяся снаружи внешнего горизонта событий ${\displaystyle r\!=\!r_{+}}$, в которой находится удалённый наблюдатель. Для нашей Вселенной временны́е бесконечности прошлого и будущего представлены точками ${\displaystyle I^{-}}$ и ${\displaystyle I^{+}}$; пространственная бесконечность – точкой ${\displaystyle I^{0}}$; нулевые бесконечности, откуда приходят и куда уходят световые сигналы, – отрезками ${\displaystyle {\cal {J^{-}}}}$ и ${\displaystyle {\cal {J^{+}}}}$. В отличие от рис. 1, на рис. 2 образующие световых конусов в каждой из точек, включая горизонты ${\displaystyle r_{-}}$ и ${\displaystyle r_{+}}$, имеют один и тот же наклон в 45°. Штриховыми голубыми линиями обозначены мировые линии массивных частиц. Как видно из диаграммы, попадая под горизонт ${\displaystyle r_{+}}$, любой сигнал неминуемо достигнет следующего горизонта ${\displaystyle r_{-}}$. В отличие от чёрной дыры Шварцшильда, частица (сигнал) вполне может избежать столкновения с истинной сингулярностью, благодаря возможности выйти в другую вселенную. Для других вселенных пространственные, временны́е и нулевые бесконечности определяются так же, как и для нашей.

В случае ${\displaystyle Q\!=\!r_{g}/2}$ горизонты ${\displaystyle r_{-}}$ и ${\displaystyle r_{+}}$ «сливаются». Однако, в отличие от чёрной дыры Шварцшильда, координаты ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle r}$ не меняют смысла под «сдвоенным» горизонтом. Поэтому диаграмма Пенроуза оказывается «половиной» диаграммы на рис. 2, где вертикальная линия, проведённая по центру рисунка и представляющая истинную сингулярность, оставит либо правую, либо левую часть. В этом случае также есть возможность избежать попадания в истинную сингулярность путём выхода в другую вселенную. Наконец, в случае «голой» сингулярности диаграмма Пенроуза вырождается в единственный треугольник, где слева вертикалью будет обозначена сингулярность, а справа – вся остальная Вселенная.

Заряженная чёрная дыра может сформироваться в результате гравитационного коллапса только в случае, если величина заряда чрезвычайно мала по отношению к массе. Ведь гравитационное притяжение материи должно компенсировать её электрическое отталкивание, которое значительно сильнее. «Голая» заряженная сингулярность заведомо не может образоваться путём коллапса.