Метрика пространства-времени

Ме́трика простра́нства-вре́мени, основная геометрическая структура, которой наделяется пространство-время (пространство событий) в специальной и общей теории относительности. Метрика пространства-времени определяется заданием поля симметричного ковариантного тензора 2-го ранга с отличным от нуля определителем – метрического тензора.

В специальной теории относительности пространство событий является (плоским) четырёхмерным пространством-временем Минковского, метрический тензор которого имеет вид: ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1)}$. Он задаёт квадрат интервала между двумя событиями, каждому из которых сопоставляется точка пространства-времени ${\displaystyle x^{\mu }=(ct,x,y,z)}$, где ${\displaystyle c}$ – скорость света, ${\displaystyle x,y,z}$ – пространственные координаты события, ${\displaystyle t}$ – время, когда оно произошло. Квадрат интервала между двумя бесконечно близкими событиями, координаты которых отличаются на ${\displaystyle dx^{\mu }}$, равен ${\displaystyle ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$. Эта величина положительна, если пространственное расстояние между точками меньше расстояния, на которое луч света распространяется за время ${\displaystyle dt}$; подобные события могут лежать на мировой линии частицы ненулевой массы, движущейся со скоростью, меньшей ${\displaystyle c}$. Соответствующий интервал называется времениподобным, он разделяет события, которые находятся в причинной связи. Отрицательное значение квадрата интервала характерно для событий, которые не связаны сигналом, распространяющимся со скоростью, меньшей или равной скорости света; он отвечает причинно несвязанным событиям; соответствующий интервал называется пространственноподобным. Нулевое значение интервала разделяет события, лежащие на фронте сферической световой волны, испущенной из заданной точки в заданный момент времени (на световом конусе). Таким образом, метрика пространства-времени не является знакоопределённой. Возможен выбор метрики с противоположными знаками диагональных компонент; инвариантной величиной является сигнатура – разность между числом элементов противоположного знака (два). Метрический тензор ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ определяет также квадраты длин векторов в пространстве Минковского, которые тоже разделяются на времениподобные, пространственноподобные и светоподобные (изотропные).

В пространстве событий специальной теории относительности допустимы преобразования координат, не изменяющие метрику. Кроме пространственных сдвигов, поворотов осей координат и изменения начала отсчёта времени, они включают преобразования Лоренца, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Уравнения, записанные в виде соотношений между тензорами в пространстве Минковского, сохраняют свой вид при этих преобразованиях, что является математическим выражением принципа относительности Эйнштейна, согласно которому физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.

В общей теории относительности метрика искривлённого пространства-времени задаётся зависящим от координат ковариантным тензором 2-го ранга ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$ таким, что в любой заданной точке (и вдоль любой кривой) его можно преобразованием координат привести к виду метрики Минковского. Такой тензор можно получить, например, из метрики Минковского общим преобразованием координат, включающим переход к неинерциальным системам отсчёта. Согласно принципу эквивалентности, силы инерции локально неотличимы от гравитационных сил, поэтому зависящая от координат метрика может описывать и гравитационное поле. В общей теории относительности все уравнения записываются в форме, инвариантной относительно произвольных преобразований координат в пространстве-времени, поэтому необходимо различать случай неинерциальной системы отсчёта от случая присутствия гравитационных полей. При наличии гравитационного поля, порождаемого любой материей, пространство-время уже не плоское, а имеет кривизну, описываемую тензором кривизны, который в случае отсутствия гравитационного поля обращается в нуль. Метрика пространства-времени определяется путём решения уравнений Эйнштейна, связывающих кривизну с распределением материи, её движением и состоянием, описываемыми тензором энергии-импульса.

В случае слабого гравитационного поля метрика ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$ близка к метрике Минковского, поэтому можно положить ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }(x)}$, где поправки ${\displaystyle h_{\mu \nu }(x)}$ малы.