Инварианты тензора кривизны пространства-времени

Инвариа́нты те́нзора кривизны́ простра́нства-вре́мени, скаляры, построенные из различных свёрток тензора кривизны пространства-времени (тензора Римана) ${\displaystyle R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }}$. Принадлежность к скалярам означает, что их значения в каждой мировой точке пространства-времени остаются неизменными при переходе от одной достаточно гладкой системы координат к другой (в отличие от компонент тензора). Таких скаляров может быть построено неограниченное количество, включая квадратичные (например, ${\displaystyle R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }R_{\alpha }^{\beta \gamma \delta }}$), кубические (такие, как ${\displaystyle R_{\beta \alpha \gamma }^{\alpha }R_{\nu }^{\beta \delta \gamma }R_{\mu \delta }^{\mu \nu }}$) и др. (индексы ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ пробегают значения 1, 2, 3, 4; по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Часть из них, наиболее важная, представляет основные геометрические характеристики пространства-времени. Самым известным инвариантом является скалярная кривизна ${\displaystyle R=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \gamma \beta }^{\gamma }}$ (где ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ – метрический тензор). Обращение одного или нескольких таких инвариантов в бесконечность свидетельствует о геометрических особенностях пространства-времени в какой-либо мировой точке или наборе точек, для которых это имеет место.