Мировая линия

Мирова́я ли́ния, кривая в пространстве-времени (пространстве событий), изображающая движение классической точечной частицы (т. е. непрерывную последовательность событий, отвечающих положению частицы в пространстве в каждый момент времени) в специальной и общей теориях относительности. В специальной теории относительности рассматриваются мировые линии в пространстве-времени Минковского (в плоском пространстве-времени), в общей теории относительности – в псевдоримановом пространстве (в искривлённом пространстве-времени).

Уравнение мировой линии принято записывать в параметрическом виде:

${\displaystyle x^{\mu }=x^{\mu }(\lambda ),\mu =0,1,2,3,(x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z)}$,

где ${\displaystyle c}$ – скорость света, ${\displaystyle t}$ – время, ${\displaystyle x,y,z}$ – пространственные координаты, ${\displaystyle \lambda }$ – вещественный параметр, в качестве которого для частицы с ненулевой массой покоя удобно выбрать четырёхмерный интервал ${\displaystyle s:ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$, где ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ – метрика пространства-времени; тогда касательный вектор к мировой линии (четырёхмерная скорость) ${\displaystyle u^{\mu }=dx^{\mu }/ds}$ будет единичным: ${\displaystyle u^{\mu }u^{\nu }g_{\mu \nu }=1}$.

Частицы нулевой массы (например, фотоны) в любой системе отсчёта движутся со скоростью света. Мировые линии таких частиц являются изотропными кривыми (нулевой длины) и лежат на световом конусе. Пространство-время специальной теории относительности имеет плоскую метрику ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1)}$; при этом мировые линии свободно движущихся частиц являются прямыми максимальной длины в отличие от искривлённых мировых линий частиц, движущихся с непостоянной скоростью. Мировые линии частиц, движущихся в гравитационном поле, описываемом в общей теории относительности в терминах искривлённого пространства событий с метрикой ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$, зависящей от координат, являются геодезическими линиями; они также имеют максимальную длину по сравнению с мировыми линиями частиц, на которые действуют также негравитационные силы.