Факторкольцо

Факторкольцо́ кольца ${\displaystyle R}$ по идеалу ${\displaystyle I}$, факторгруппа аддитивной группы кольца ${\displaystyle R}$ по подгруппе ${\displaystyle I}$ с умножением

${\displaystyle (a+I)(b+I)=ab+I}$.

Факторкольцо оказывается кольцом и обозначается ${\displaystyle R/I}$. Отображение ${\displaystyle \pi :R\rightarrow R/I}$, где ${\displaystyle \pi (x)=x+I}$, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом, который называется естественным (см. Алгебраическая система).

Важнейший пример факторкольца: кольцо вычетов по модулю ${\displaystyle n}$ – факторкольцо кольца целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ по идеалу ${\displaystyle \mathbb {Z} n}$. Элементами кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} /\mathbb {Z} n}$ можно считать числа ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$, где сумма и произведение определяются как остатки от деления обычных суммы и произведения на ${\displaystyle n}$. Между идеалами факторкольца ${\displaystyle R/I}$ и идеалами кольца ${\displaystyle R}$, содержащими ${\displaystyle I}$, может быть установлено взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее порядок. В частности, факторкольцо ${\displaystyle R/I}$ просто тогда и только тогда, когда ${\displaystyle I}$ – максимальный идеал.