Типы решёток Вороного

Ти́пы решёток Вороно́го, типы точечных решёток ${\displaystyle n}$-мерного евклидова пространства ${\displaystyle E^{n}}$, введённые Г. Ф. Вороным в 1908 (см. Вороной. 1952^[1]) в связи с задачей о параллелоэдрах.

Множество точек ${\displaystyle \varepsilon }$ в ${\displaystyle E^{n}}$ называется ${\displaystyle (r,R)}$-системой, если в нём нет точек ближе чем на фиксированном расстоянии ${\displaystyle r>0}$ друг от друга, и всякий шар радиуса, большего, чем фиксированное ${\displaystyle R}$, содержит хотя бы одну точку из ${\displaystyle \varepsilon }$. Пусть ${\displaystyle D}$ – выпуклый многогранник области Дирихле точки из системы ${\displaystyle \varepsilon }$, т. е. области точек пространства, которые отстоят от какой-либо точки системы не дальше, чем от всех других её точек. Области Дирихле точек ${\displaystyle (r,R)}$-системы ${\displaystyle \varepsilon }$ попарно не имеют общих внутренних точек, покрывают всё пространство (т. е. образуют разбиение) и смежны целыми гранями (т. е. составляют нормальное разбиение). С той же системой ${\displaystyle \varepsilon }$ можно связать дуальное к ${\displaystyle \left\{D\right\}}$ тоже нормальное разбиение ${\displaystyle \left\{L\right\}}$ на многогранники ${\displaystyle L}$ (вписанные в сферы), каждый из которых есть выпуклая оболочка точек системы ${\displaystyle \varepsilon }$, соответствующих всем ${\displaystyle D}$, сходящимся в вершине разбиения ${\displaystyle \left\{D\right\}}$.

Две ${\displaystyle n}$-мерные точечные решётки относятся к одному типу Вороного, когда их разбиения ${\displaystyle \left\{L\right\}}$ аффинны друг другу. Если репер таков, что при любых достаточно малых изменениях его метрических параметров (скалярных квадратов ${\displaystyle a_{ii}}$ и скалярных произведений ${\displaystyle a_{ik}}$ векторов) разбиение решётки, построенной на изменённом репере, получается из разбиения ${\displaystyle \left\{L\right\}}$ решётки, построенной на исходном репере тем же аффинным преобразованием, которое переводит исходный репер в изменённый репер, то репер называется примитивным или общим. Для этого необходимо и достаточно, чтобы разбиение ${\displaystyle \left\{L\right\}}$ для исходного репера было симплициальным. Точка ${\displaystyle M}$ пространства ${\displaystyle E^{N}}$ параметров ${\displaystyle a_{ik}}$ [где ${\displaystyle N=n(n+l)/2}$], соответствующая такому реперу, тоже называется общей. Полная линейно связная область ${\displaystyle A}$, содержащая общую точку, в которой разбиения ${\displaystyle \left\{L\right\}}$ для всех её точек получаются из разбиения ${\displaystyle \left\{L\right\}}$ для решётки, построенной на репере, соответствующем точке ${\displaystyle M}$, теми же аффинными преобразованиями, при помощи которых реперы, соответствующие этим точкам, получаются из репера, соответствующего точке ${\displaystyle M}$, называются областью типа точки ${\displaystyle M}$. Г. Ф. Вороной доказал, что в ${\displaystyle E^{N}}$ область ${\displaystyle \Delta }$ имеет вид выпуклого многогранного угла (гоноэдра) с вершиной в начале координат и с конечным числом граней и что для любого заданного ${\displaystyle n}$ существует лишь конечное число ${\displaystyle \psi }$ неэквивалентных областей ${\displaystyle \Delta }$. Он дал также алгорифм для их нахождения (см. Вороной. 1952^[2]). Для ${\displaystyle n=1,2,3,4}$ число ${\displaystyle \psi }$ равно соответственно ${\displaystyle 1,1,1,3}$. Вороной доказал также, что самое общее (т. е. не обязательно разбиение Дирихле) нормальное разбиение ${\displaystyle E^{n}}$ на одинаковые выпуклые и параллельно расположенные многогранники, сходящиеся по ${\displaystyle n+1}$ в вершинах (примитивные параллелоэдры), есть аффинный образ разбиения ${\displaystyle \left\{D\right\}}$ для решётки, и свёл таким образом изучение этих параллелоэдров к теории квадратичных форм. Для непримитивных параллелоэдров (т. е. в случае, когда в некоторых вершинах сходится больше чем ${\displaystyle n+1}$ параллелоэдр) вопрос о возможности их аффинно преобразовать в область ${\displaystyle D}$ решётки для произвольного ${\displaystyle n}$ пока открыт. Известно только его положительное решёние для ${\displaystyle n=2,3,4}$ (см. Delaunay. 1929^[3]).

Примитивная область ${\displaystyle D}$ для двумерной решётки есть выпуклый шестиугольник с центром симметрии, вписанный в круг, и обратно. В случае трёхмерной решётки это некоторый 14-гранник, комбинаторно такой же, как кубооктаэдр с восемью шестиугольными и шестью четырёхугольными гранями, грани которого имеют центры симметрии, и такой, что отрезки, идущие из его центра в центры граней, перпендикулярны к граням, и обратно. Непримитивная область ${\displaystyle D}$ при ${\displaystyle n=2}$ – прямоугольник, а при ${\displaystyle n=3}$ – или додекаэдр с четырьмя шестиугольными и восемью параллелограмматическими гранями, или параллелограмматический додекаэдр, или прямая шестиугольная призма с основанием – примитивным двумерным ${\displaystyle D}$, или прямоугольный параллелепипед. Для ${\displaystyle n=4}$ имеется ${\displaystyle 3}$ примитивных ${\displaystyle D}$ разных типов решёток Вороного и ${\displaystyle 49}$ непримитивных. При переходе к ${\displaystyle n=5}$ происходит скачок – для ${\displaystyle n=5}$ различных примитивных ${\displaystyle D}$ уже ${\displaystyle 221}$ (см. Рышков. 1975). Этот результат был получен введением нового понятия C-типа решётки: в один C-тип относят те решётки, у которых аффинны друг другу не сами разбиения ${\displaystyle \left\{L\right\}}$, а лишь их одномерные остовы.