Тензорное произведение матриц

Те́нзорное произведе́ние ма́триц (кронекерово произведение) ${\displaystyle A=\left\|\alpha _{ij}\right\|}$ и ${\displaystyle B}$, матрица

${\displaystyle {\begin{aligned}A\otimes B=\left\|{\begin{array}{ccc}\alpha _{11}B&\ldots &\alpha _{1n}B\\\ldots &\ldots &\ldots \\\alpha _{m1}B&\ldots &\alpha _{mn}B\end{array}}\right\|\end{aligned}}}$.

Здесь ${\displaystyle A}$ есть ${\displaystyle (m\times n)}$-матрица, ${\displaystyle B}$ есть ${\displaystyle (p\times q)}$-матрица, а ${\displaystyle A\otimes B}$ есть ${\displaystyle (mp\times nq)}$-матрица над коммутативно-ассоциативным кольцом ${\displaystyle k}$ с единицей.

Свойства тензорных произведений матриц:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(A_{1}+A_{2}\right)\otimes B=A_{1}\otimes B+A_{2}\otimes B,\\A\otimes \left(B_{1}+B_{2}\right)=A\otimes B_{1}+A\otimes B_{2},\\\alpha (A\otimes B)=\alpha A\otimes B=A\otimes \alpha B,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \alpha \in k}$,

${\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD}$.

Если ${\displaystyle m=n}$ и ${\displaystyle p=q}$, то

${\displaystyle \operatorname {det} (A\otimes B)=(\operatorname {det} A)^{p}(\operatorname {det} B)^{n}}$.

Пусть ${\displaystyle k}$ – поле, ${\displaystyle m=n}$ и ${\displaystyle p=q}$. Тогда ${\displaystyle A\otimes B}$ подобна ${\displaystyle B\otimes A}$ и ${\displaystyle \left.\operatorname {det} (A\otimes E_{p}-E_{n}\otimes B\right)}$, где ${\displaystyle E_{n}}$ – единичная матрица, совпадает с результантом характеристических многочленов матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.

Если ${\displaystyle \alpha :V\rightarrow V^{\prime }}$, ${\displaystyle \beta :W\rightarrow W^{\prime }}$ – гомоморфизмы унитарных свободных конечно порождённых ${\displaystyle k}$-модулей и ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ – их матрицы в некоторых базисах, то ${\displaystyle A\otimes B}$ является матрицей гомоморфизма ${\displaystyle \alpha \otimes \beta :V\otimes W\rightarrow V^{\prime }\otimes W^{\prime }}$ в базисах, состоящих из тензорного произведения базисных векторов.