Представление группы

Представле́ние гру́ппы, гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества ${\displaystyle V}$. Представление ${\displaystyle \rho }$ группы ${\displaystyle G}$ называется линейным, если ${\displaystyle V}$ является векторным пространством над некоторым полем ${\displaystyle k}$, а преобразования ${\displaystyle \rho (g)}$, ${\displaystyle g\in G}$, – линейными преобразованиями. Часто линейные представления называют для краткости просто представлениями. В теории представлений абстрактных групп наиболее разработанным разделом является теория конечномерных представлений конечных групп (см. в статье Представление симметрической группы).

Если ${\displaystyle G}$ – топологическая группа, то рассматриваются непрерывные линейные представления группы ${\displaystyle G}$ в топологическом векторном пространстве ${\displaystyle V}$ (см. в статье Представление топологической группы). Если ${\displaystyle G}$ – группа Ли, а ${\displaystyle V}$ – конечномерное пространство над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$, то непрерывное линейное представление автоматически является вещественно аналитическим. Аналитические и дифференцируемые представления группы Ли можно определить и в бесконечномерном случае (см. в статье Бесконечномерное представление группы Ли). Всякому дифференцируемому представлению ${\displaystyle \rho }$ группы Ли ${\displaystyle G}$ соответствует некоторое линейное представление её алгебры Ли – дифференциал представления ${\displaystyle \rho }$. Если ${\displaystyle G}$ – связная группа Ли, то её конечномерные представления полностью определяются своими дифференциалами. Наиболее разработанные разделы теории представлений топологических групп – это теория конечномерных линейных представлений полупростых групп Ли, которая часто формулируется на языке алгебр Ли (см. в статье Теорема Картана о старшем векторе), теория представлений компактных групп, теория унитарных представлений.

Для алгебраических групп имеется теория рациональных представлений, во многом аналогичная теории конечномерных представлений групп Ли.