Сепарабельное расширение поля

Сепара́бельное расшире́ние по́ля, расширение ${\displaystyle K/k}$ такое, что для некоторого натурального ${\displaystyle n}$ поля ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle k^{p-n}}$ линейно разделены над ${\displaystyle k}$ (см. статью Линейно разделённые расширения). Расширение, не являющееся сепарабельным, называется несепарабельным.

В дальнейшем рассматриваются только алгебраические расширения (о трансцендентных сепарабельных расширениях см. статью Трансцендентное расширение). Конечное расширение сепарабельно тогда и только тогда, когда отображение следа ${\displaystyle {\ce {\mathrm {Sp} :K->k}}}$ является ненулевой функцией. Алгебраическое расширение сепарабельно, если любое конечное его подрасширение сепарабельно. В характеристике ${\displaystyle 0}$ все расширения сепарабельны.

Сепарабельные расширения образуют отмеченный класс расширений, т. е. в башне полей ${\displaystyle L\supset K\supset k}$ расширение ${\displaystyle L/k}$ сепарабельно тогда и только тогда, когда сепарабельны и ${\displaystyle L/K}$ и ${\displaystyle K/k}$. Если ${\displaystyle K_{1}/k}$ и ${\displaystyle K_{2}/k}$ суть сепарабельного расширения, то и ${\displaystyle K_{1}K_{2}/k}$ сепарабельно; для сепарабельного расширения ${\displaystyle K/k}$ и произвольного расширения ${\displaystyle L/k}$ расширение ${\displaystyle KL/L}$ снова сепарабельно. Расширение ${\displaystyle K/k}$ сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает погружение в некоторое расширение Галуа ${\displaystyle L/k}$. При этом для конечного расширения ${\displaystyle K/k}$ число различных ${\displaystyle k}$-изоморфизмов поля ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle L}$ совпадает со степенью ${\displaystyle [K:k]}$. Любое конечное сепарабельное расширение является простым.

Многочлен ${\displaystyle f(x)\in k[X]}$ называется сепарабельным над ${\displaystyle k}$, если его неприводимые множители не имеют кратных корней. Алгебраический элемент ${\displaystyle \alpha }$ называется сепарабельным (над ${\displaystyle k}$), если он является корнем сепарабельного над ${\displaystyle k}$ многочлена. В противном случае ${\displaystyle \alpha }$ называется несепарабельным. Элемент ${\displaystyle \alpha }$ называется чисто несепарабельным над ${\displaystyle k}$, если ${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in k}$ для некоторого ${\displaystyle n}$. Неприводимый многочлен ${\displaystyle f(x)}$ несепарабелен тогда и только тогда, когда производная ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ тождественно равна ${\displaystyle 0}$ [это возможно только в случае, когда ${\displaystyle k}$ имеет характеристику ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle f(x)=f_{1}\left(x^{p}\right)}$]. Произвольный многочлен ${\displaystyle f(x)}$ однозначно представим в виде ${\displaystyle f(x)=g\left(x^{p^{e}}\right)}$, где ${\displaystyle g(x)}$ – сепарабельный многочлен. Степень многочлена ${\displaystyle g(x)}$ и число ${\displaystyle e}$ называются соответственно редуцированной степенью и индексом многочлена ${\displaystyle f(x)}$.

Пусть ${\displaystyle L/k}$ – произвольное алгебраическое расширение. Все элементы поля ${\displaystyle L}$, сепарабельные над ${\displaystyle k}$, образуют поле ${\displaystyle K}$, которое является максимальным сепарабельным расширением поля ${\displaystyle k}$, содержащимся в ${\displaystyle L}$. Поле ${\displaystyle K}$ называется сепарабельным замыканием поля ${\displaystyle k}$ в ${\displaystyle L}$. Степень ${\displaystyle [K:k]}$ называется сепарабельной степенью расширения ${\displaystyle L/k}$, а степень ${\displaystyle [L:K]}$ – несепарабельной степенью, или степенью несепарабельности. Несепарабельная степень равна некоторой степени числа ${\displaystyle p=\operatorname {char} k}$. Если ${\displaystyle K=k}$, то поле ${\displaystyle k}$ называется сепарабельно замкнутым в ${\displaystyle L}$. В этом случае расширение ${\displaystyle L/k}$ называется чисто несепарабельным. Расширение ${\displaystyle K/k}$ чисто несепарабельно тогда и только тогда, когда

${\displaystyle K\subset k^{p^{-\infty }}=\cup _{n}k^{p^{-n}}}$,

т. е. когда любой элемент поля ${\displaystyle K}$ чисто несепарабелен над ${\displaystyle k}$. Чисто несепарабельные расширения поля ${\displaystyle k}$ образуют отмеченный класс расширений. Если расширение ${\displaystyle K/k}$ одновременно сепарабельно и чисто несепарабельно, то ${\displaystyle K=k}$.