Нормальное расширение поля

Норма́льное расшире́ние по́ля, алгебраическое расширение ${\displaystyle L}$ поля ${\displaystyle K}$, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий:

1) любое вложение поля ${\displaystyle L}$ в алгебраическое замыкание ${\displaystyle {\overline {K}}}$ поля ${\displaystyle K}$ является автоморфизмом поля ${\displaystyle L}$;

2) ${\displaystyle L}$ – поле разложения некоторого семейства многочленов с коэффициентами из ${\displaystyle K}$;

3) любой неприводимый над ${\displaystyle K}$ многочлен ${\displaystyle f(x)}$ с коэффициентами из ${\displaystyle K}$, имеющий корень в ${\displaystyle L}$, распадается в ${\displaystyle L}$ на линейные множители.

Для любого алгебраического расширения ${\displaystyle F/K}$ существует максимальное промежуточное подполе ${\displaystyle L}$, нормальное над ${\displaystyle K}$, причём ${\displaystyle \displaystyle L=\bigcap _{\sigma }F^{\sigma }}$, где ${\displaystyle \sigma }$ – всевозможные вложения поля ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle {\overline {K}}}$. Существует также однозначно определённое минимальное нормальное расширение поля ${\displaystyle K}$, содержащее ${\displaystyle F}$. Это поле является композитом всех полей ${\displaystyle F^{\sigma }}$. Оно называется нормальным замыканием поля ${\displaystyle F}$ относительно ${\displaystyle K}$. Если ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ – нормальные расширения поля ${\displaystyle K}$, то пересечение ${\displaystyle L_{1}\cap L_{2}}$ и композит ${\displaystyle L_{1}\cdot L_{2}}$ снова нормальны над ${\displaystyle K}$. Однако даже если расширения ${\displaystyle L/K'}$ и ${\displaystyle K'/K}$ нормальны, расширение ${\displaystyle L/K}$ может и не быть нормальным.

Для полей характеристики ${\displaystyle 0}$ любое нормальное расширение является расширением Галуа. В общем случае нормальное расширение является расширением Галуа тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.