Группа Галуа

Гру́ппа Галуа́, группа автоморфизмов расширения Галуа ${\displaystyle L}$ поля ${\displaystyle k}$, т. е. группа, состоящая из всех автоморфизмов поля ${\displaystyle L}$, оставляющих все элементы подполя ${\displaystyle k}$ неподвижными. Группа Галуа обозначается ${\displaystyle G(L/k)}$ или ${\displaystyle \mathrm {Gal} (L/k)}$. Поле инвариантов ${\displaystyle L^{G(L/k)}}$ совпадает с полем ${\displaystyle k}$. Если ${\displaystyle L}$ – поле разложения многочлена ${\displaystyle f}$ над полем ${\displaystyle k}$, то группа Галуа ${\displaystyle G(L/k)}$ называется также группой Галуа многочлена ${\displaystyle f}$. Эти группы играют важную роль в теории Галуа алгебраических уравнений. Вычисление группы Галуа для расширений полей алгебраических чисел является одной из основных задач алгебраической теории чисел. Задача нахождения расширений Галуа с абелевой группой Галуа (абелевы расширения) относится к теории полей классов. Группы Галуа полей алгебраических функций изучаются в алгебраической геометрии.

Если ${\displaystyle L}$ – поле и ${\displaystyle G}$ – конечная подгруппа группы автоморфизмов поля ${\displaystyle L}$, то ${\displaystyle L}$ является расширением Галуа поля инвариантов ${\displaystyle k=L^{G},}$ группа Галуа этого расширения изоморфна ${\displaystyle G}$; при этом степень расширения ${\displaystyle [L:k]}$ равна порядку группы ${\displaystyle G}$.

Фундаментальным результатом о группе Галуа является следующая теорема, иногда называется основной теоремой о расширениях Галуa (или теоремой о соответствии Галуа). Если ${\displaystyle L}$ – расширение Галуа конечной степени поля ${\displaystyle k}$, то существует взаимно однозначное соответствие между всеми подгруппами ${\displaystyle H}$ группы Галуа ${\displaystyle \mathrm {G} (L/k)}$ и всеми подполями ${\displaystyle F}$ поля ${\displaystyle L}$, содержащими ${\displaystyle k}$, причём соответствующие друг другу ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle F}$ таковы, что ${\displaystyle F}$ – поле инвариантов ${\displaystyle H}$, a ${\displaystyle H}$ – группа Галуа расширения ${\displaystyle L/F}$ (см. в статье Соответствие Галуa). Эта теорема имеет многочисленные аналоги во многих математических теориях; так, существует её обобщение на случай расширений бесконечной степени (см. в статье Топологическая группа Галуа). Имеется обобщение понятия группы Галуа на случай расширений произвольных коммутативных колец и даже схем (см. в статье Фундаментальная группа), а также на случай расширений тел.