Обобщённая производная

Обобщённая произво́дная типа функции, распространение понятия производной на некоторые классы недифференцируемых функций. Первое определение принадлежит С. Л. Соболеву (Соболев. 1935; Soboleff. 1936), который подошёл к определению обобщённой производной с точки зрения идеи введённого им понятия обобщённой функции.

Пусть ${\displaystyle f=f(x)=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ и ${\displaystyle \varphi =\varphi (x)=\varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$ – локально интегрируемые функции на открытом множестве ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$-мерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, т. е. интегрируемые по Лебегу на любом замкнутом ограниченном множестве ${\displaystyle F\subset \Omega }$. Тогда ${\displaystyle \varphi }$ есть обобщённая частная производная от ${\displaystyle f}$ по ${\displaystyle x_{j}}$ на ${\displaystyle \Omega }$, и пишут ${\displaystyle \varphi ={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$, если для любой бесконечно дифференцируемой функции ${\displaystyle \psi }$, финитной в ${\displaystyle \Omega }$,

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x){\frac {\partial \psi }{\partial x_{j}}}\,dx=-\int _{\Omega }\varphi (x)\psi (x)\,dx}$.

Второе (эквивалентное) определение обобщённой производной ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}=\varphi }$ заключается в следующем. Если ${\displaystyle f}$ можно видоизменить на множестве ${\displaystyle n}$-мерной меры нуль так, что видоизменённая функция (которая снова обозначается через ${\displaystyle f}$) будет локально абсолютно непрерывной по ${\displaystyle x_{j}}$ почти для всех [в смысле ${\displaystyle (n-1)}$-мерной меры] ${\displaystyle x^{j}=(x_{1},\dots ,x_{j-1},x_{j+1},\dots ,x_{n})}$, принадлежащих проекции ${\displaystyle \Omega ^{j}}$ области ${\displaystyle \Omega }$ на плоскость ${\displaystyle x_{j}=0}$, то ${\displaystyle f}$ имеет частную (в обычном смысле этого слова) производную ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$ почти всюду в области ${\displaystyle \Omega }$. Если ${\displaystyle \varphi ={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$ почти всюду на ${\displaystyle \Omega }$, то ${\displaystyle \varphi }$ – обобщённая производная от ${\displaystyle f}$ по ${\displaystyle x_{j}}$ на ${\displaystyle \Omega }$. Таким образом, обобщённая производная определена на ${\displaystyle \Omega }$ почти всюду; если ${\displaystyle f}$ непрерывна и имеет на ${\displaystyle \Omega }$ непрерывную обычную производную ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$, то последняя есть в то же время обобщённая производная от ${\displaystyle f}$ по ${\displaystyle x_{j}}$ на ${\displaystyle \Omega }$.

Обобщённые производные ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}\partial x_{k}}},\dots }$ высшего порядка определяются по индукции. Они не зависят (почти всюду) от порядка дифференцирования.

Имеется третье (эквивалентное) определение обобщённой производной. Пусть для всякого замкнутого ограниченного множества ${\displaystyle F\subset \Omega }$ функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle \varphi }$, заданные на ${\displaystyle \Omega }$, обладают свойствами:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\nu \to \infty }\int _{F}|f_{\nu }-f|\,dx&=0,\\\lim _{\nu \to \infty }\int _{F}{\biggl |}{\frac {\partial f_{\nu }}{\partial \nu _{j}}}-\varphi {\biggr |}\,dx&=0,\end{aligned}}}$

где функции ${\displaystyle f_{\nu }}$ , ${\displaystyle \nu =1,2,\dots }$, непрерывны на ${\displaystyle \Omega }$ вместе со своими частными производными ${\displaystyle {\frac {\partial f_{\nu }}{\partial x_{j}}}}$; тогда ${\displaystyle \varphi }$ есть обобщённая производная по ${\displaystyle x_{j}}$ от ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \Omega }$ (${\displaystyle \varphi ={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$) (см. также пространство Соболева).

С точки зрения теории обобщённых функций обобщённая производная определяется следующим образом. Пусть задана функция ${\displaystyle f(x)}$, локально суммируемая на ${\displaystyle \Omega }$, рассматриваемая как обобщённая функция, и пусть ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}=\varphi }$ – частная производная в смысле теории обобщённых функций. Если окажется, что ${\displaystyle \varphi }$ представляет собой локально суммируемую на ${\displaystyle \Omega }$ функцию, то тогда по первому (исходному) определению ${\displaystyle \varphi }$ есть обобщённая производная.

Понятие обобщённой производной вводилось и ранее (см., например, Levi. 1906^[1]), где рассматривались обобщённые производные с интегрируемым квадратом на ${\displaystyle \Omega }$. В дальнейшем многие исследователи приходили к этому понятию независимо от своих предшественников (Никольский. 1969^[2]).