Условие Липшица

Усло́вие Ли́пшица, ограничение на поведение приращений функции. Если для любых точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, принадлежащих отрезку ${\displaystyle [a,b]}$, приращение функции ${\displaystyle f}$ удовлетворяет неравенству

${\displaystyle \left|\!f(x)-f(y)\!\right|\leqslant M\left|\;{\text{х}}-y\;\right|^{\alpha }}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle M}$ – некоторые постоянные, ${\displaystyle 0<\alpha \leqslant 1,\,\,M>0}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f}$ удовлетворяет условию Липшица порядка ${\displaystyle \alpha }$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Функция, удовлетворяющая на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ условию Липшица при каких-либо ${\displaystyle \alpha >0}$ и ${\displaystyle M>0}$, равномерно непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$. Функция, имеющая на ${\displaystyle [a,b]}$ ограниченную производную, удовлетворяет на ${\displaystyle [a,b]}$ условию Липшица с любым ${\displaystyle \alpha \leqslant 1}$ и некоторым ${\displaystyle M}$. Условие Липшица ввёл в 1864 г. немецкий математик Р. Липшиц в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$. Иногда, исторически неправильно, с именем Липшица связывают только наиболее важный случай, в котором ${\displaystyle \alpha =1}$, а в случае ${\displaystyle \alpha <1}$ условие Липшица называют условием Гёльдера.