Поверхности Ляпунова

Пове́рхности Ляпуно́ва и кривые Ляпунова, класс поверхностей и кривых, обладающих достаточно хорошими свойствами гладкости, введённый в теории потенциала А. М. Ляпуновым в конце 19 – начале 20 вв. Поверхность ${\displaystyle S}$ в трёхмерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ называется поверхностью Ляпунова, если выполнены следующие 3 условия (условия Ляпунова):

1) в каждой точке ${\displaystyle S}$ существует определённая касательная плоскость и, следовательно, нормаль;

2) существует такое число ${\displaystyle r>0}$, одно и то же для всех точек ${\displaystyle S}$, что если взять часть ${\displaystyle \Sigma }$ поверхности ${\displaystyle S}$, попавшую внутрь сферы Ляпунова ${\displaystyle B\left(y_{0},r\right)}$ с центром в любой точке ${\displaystyle y_{0}\in S}$ радиуса ${\displaystyle r}$, то прямые, параллельные нормали к ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle y_{0}}$, встречают ${\displaystyle \Sigma }$ не более чем один раз;

3) существуют такие два числа ${\displaystyle A>0}$ и ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle 0<\lambda \leqslant 1}$, одни и те же для всей поверхности ${\displaystyle S}$, что для любых двух точек ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in S}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \mid \theta \mid <A\left|y_{1}-y_{2}\right|^{\lambda },}$ (*)

где ${\displaystyle \theta }$ – угол между нормалями к ${\displaystyle S}$ в точках ${\displaystyle y_{1}}$ и ${\displaystyle y_{2}}$. Иногда к этим трём условиям добавляются требования замкнутости ${\displaystyle S}$ и того, чтобы телесный угол, под которым любая часть ${\displaystyle \sigma }$ поверхности ${\displaystyle S}$ видна из произвольной точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$, был равномерно ограничен.

Условия Ляпунова обобщаются для гиперповерхностей в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 3}$.

Аналогично, простая непрерывная кривая ${\displaystyle L}$ на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ называется кривой Ляпунова, если она удовлетворяет следующим условиям:

1') в каждой точке ${\displaystyle L}$ существует определённая касательная и, следовательно, нормаль;

3') существуют такие два числа ${\displaystyle A>0}$ и ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle 0<\lambda \leqslant 1}$, одни и те же для всей кривой ${\displaystyle L}$, что для любых двух точек ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in L}$ выполняется неравенство (*), где ${\displaystyle \theta }$ – угол между касательными или нормалями к ${\displaystyle L}$ в точках ${\displaystyle y_{1}}$, ${\displaystyle y_{2}}$.

Условие Ляпунова 2) здесь вытекает из 1') и 3'). Кривые Ляпунова представляют собой подкласс простых гладких кривых.