Характер топологического пространства

Хара́ктер топологи́ческого простра́нства, один из важнейших кардинальных инвариантов. Он определяется с помощью следующего понятия характера точки: характер точки ${\displaystyle x}$ в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ (иногда называемый локальным весом пространства ${\displaystyle X}$ в точке ${\displaystyle x}$) есть наименьшая из мощностей всевозможных баз пространства в точке ${\displaystyle x}$; это кардинальное число обозначается через ${\displaystyle \chi (x,X)}$, т. е.

${\displaystyle \chi (x,X)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}{\text{ — база пространства }}X{\text{ в точке }}x\}}$.

(Семейство ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ открытых окрестностей точки ${\displaystyle x}$ в пространстве ${\displaystyle X}$ называется базой этого пространства в точке ${\displaystyle x}$, если для каждой окрестности ${\displaystyle U\subset X}$ точки ${\displaystyle x}$ найдётся такое ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$, что ${\displaystyle B\subset U}$.) Если характер точки ${\displaystyle x\in X}$ конечен, то он равен ${\displaystyle 1}$, поскольку тогда существует наименьшая (относительно включения) окрестность точки ${\displaystyle x}$.

Величина ${\displaystyle \chi (X)=\sup\{\chi (x,X):x\in X\}}$ называется характером топологического пространства ${\displaystyle X}$. Таким образом, условие ${\displaystyle \chi (X)\leqslant {\mathfrak {m}}}$ (где ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ – кардинальное число) равносильно тому, что в каждой точке ${\displaystyle x\in X}$ существует база пространства ${\displaystyle X}$, мощность которой не превосходит ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Обозначения ${\displaystyle \chi (x,X)}$ и ${\displaystyle \chi (X)}$ происходят от др.-греч. χαρακτήρ (отличительная черта, характер).

Свойство «характер ${\displaystyle \leqslant {\mathfrak {m}}}$» является наследственным, т. е. если ${\displaystyle \chi (X)\leqslant {\mathfrak {m}}}$, то ${\displaystyle \chi (A)\leqslant {\mathfrak {m}}}$ для любого подпространства ${\displaystyle A\subset X}$.

Если ${\displaystyle \chi (X)\leqslant \aleph _{0}}$, то говорят, что пространство ${\displaystyle X}$ является пространством счётного характера (а также, что ${\displaystyle X}$ удовлетворяет первой аксиоме счётности).

Характер топологического пространства ${\displaystyle X}$ не превосходит его веса, т. е. ${\displaystyle \chi (X)\leqslant w(X)}$; это неравенство может строгим: так, плоскость Немыцкого, прямая Зоргенфрея и двойная окружность Александрова являются пространствами счётного характера, но их вес равен мощности континуума.

Если характер топологического пространства ${\displaystyle X}$ конечен, то он равен ${\displaystyle 1}$, и у каждой точки ${\displaystyle x\in X}$ существует наименьшая окрестность, т. е. в этом случае пространство ${\displaystyle X}$ дискретно по Александрову (см. в статье Дискретная топология). В общей топологии (из соображений упрощения формулировок и доказательств) в этой ситуации обычно полагают ${\displaystyle \chi (X)=\aleph _{0}}$ – иными словами, характер топологического пространства определяют в предположении лишь бесконечных значений.

Понятие характера точки в топологическом пространстве (под названием «характер топологического пространства в точке») было введено П. С. Александровым (^[1]). Ранее Ф. Хаусдорф (^[2]) определил первую (эквивалентную свойству топологического пространства иметь счётный характер) и вторую аксиомы счётности.