Рациональное отображение

Рациона́льное отображе́ние, обобщение понятия рациональной функции на алгебраическом многообразии. А именно, рациональным отображением неприводимого алгебраического многообразия ${\displaystyle X}$ в алгебраическое многообразие ${\displaystyle Y}$ (оба определены над полем ${\displaystyle k}$) называется класс эквивалентности пар ${\displaystyle \left(U,\varphi _{U}\right)}$, где ${\displaystyle U}$ – непустое открытое подмножество в ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle \varphi _{U}}$ – морфизм из ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle Y}$. При этом пары ${\displaystyle \left(U,\varphi _{U}\right)}$ и ${\displaystyle \left(V,\varphi _{V}\right)}$ считаются эквивалентными, если ${\displaystyle \varphi _{U}}$ и ${\displaystyle \varphi _{V}}$ совпадают на ${\displaystyle U\cap V}$. В частности, рациональное отображение многообразия ${\displaystyle X}$ в аффинную прямую есть рациональная функция на многообразии ${\displaystyle X}$. Для каждого рационального отображения ${\displaystyle {{\ce {\varphi: X - - -> Y}}}}$ существует такая пара ${\displaystyle \left({\tilde {U}},\varphi _{\tilde {U}}\right)}$, что ${\displaystyle U\subseteq {\tilde {U}}}$ для любой эквивалентной ей пары ${\displaystyle \left(U,\varphi _{U}\right)}$ и ${\displaystyle \varphi _{U}}$ является ограничением ${\displaystyle \varphi _{\tilde {U}}}$ на ${\displaystyle U}$. Открытое подмножество ${\displaystyle {\tilde {U}}}$ называется областью регулярности рационального отображения ${\displaystyle \varphi }$, а ${\displaystyle \varphi ({\tilde {U}})}$ – образом многообразия ${\displaystyle X}$ [обозначается ${\displaystyle \varphi (X)}$] при рациональном отображении ${\displaystyle \varphi }$.

Если ${\displaystyle {{\ce {\varphi: X- - -> Y}}}}$ – рациональное отображение алгебраических многообразий и образ ${\displaystyle \varphi (X)}$ плотен в ${\displaystyle Y}$, то ${\displaystyle \varphi }$ определяет вложение полей ${\displaystyle {{\ce {\varphi^*: k(Y) -> k(X)}}}}$. Обратно, вложение полей рациональных функций ${\displaystyle {{\ce {\varphi^*: k(Y) -> k(X)}}}}$ определяет рациональное отображение многообразия ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. Если рациональное отображение ${\displaystyle \varphi }$ индуцирует изоморфизм полей рациональных функций ${\displaystyle k(X)}$ и ${\displaystyle k(Y)}$, то ${\displaystyle \varphi }$ называется бирациональным отображением.

Множество точек из ${\displaystyle X}$, в которых рациональное отображение ${\displaystyle {{\ce {\varphi: X- - -> Y}}}}$ не регулярно, имеет в общем случае коразмерность 1. Но если ${\displaystyle Y}$ – полное многообразие, а ${\displaystyle X}$ – гладкое неприводимое многообразие, то множество точек из ${\displaystyle X}$, в которых ${\displaystyle \varphi }$ не регулярно, имеет коразмерность не меньше двух. Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – полные неприводимые многообразия над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, то рациональное отображение ${\displaystyle {{\ce {\varphi: X- - -> Y}}}}$ может быть включено в коммутативную диаграмму (Hironaka. 1964^[1]):

где ${\displaystyle \eta ,f}$ – морфизмы алгебраического многообразия ${\displaystyle Z}$, и ${\displaystyle \eta }$ является композицией моноидальных преобразований. Если ${\displaystyle {{\ce {\varphi: X- - -> Y}}}}$ – бирациональное отображение полных неособых поверхностей, то существует диаграмма (см. рисунок), в которой оба морфизма ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle \eta }$ являются композициями моноидальных преобразований с неособыми центрами (теорема Зариского), т. е. любое бирациональное отображение полных неособых поверхностей раскладывается в композицию моноидальных преобразований с неособыми центрами и обратных к ним отображений. В случае ${\displaystyle \operatorname {dim} X\geqslant 3}$ аналогичный вопрос о разложении бирационального отображения открыт.