Неравенство Бернштейна

Неравенство Бернштейна в теории вероятностей – уточнение классического неравенства Чебышёва, принадлежащее С. Н. Бернштейну (1911, см. ^[1]). Оно позволяет заменить степенную оценку вероятности больших отклонений на экспоненциально убывающую. Именно, если для независимых случайных величин ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ с

${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{j}=0,\quad {\mathsf {E}}X_{j}^{2}=b_{j},\quad j=1,2,\ldots ,n}$,

выполняется

${\displaystyle {\mathsf {E}}\mid X_{j}\mid ^{l}\leqslant {\frac {b_{j}}{2}}H^{l-2}l!}$

(${\displaystyle l>2}$, ${\displaystyle H}$ – постоянная, не зависящая от ${\displaystyle j}$), то для суммы ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\ldots +X_{n}}$ справедливо неравенство Бернштейна (${\displaystyle r>0}$):

${\displaystyle {\mathsf {P}}{\bigl \{}\mid S_{n}\mid >r{\bigr \}}\leqslant 2\exp \left\{-{\frac {r^{2}}{2(B_{n}+Hr)}}\right\}}$ (1),

где ${\displaystyle \displaystyle B_{n}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}}$. Для одинаково распределённых ограниченных случайных величин ${\displaystyle X_{j}}$, (${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{j}=0}$, ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{j}^{2}=\sigma ^{2}}$ и ${\displaystyle \mid X_{j}\mid \leqslant L}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n}$) неравенство (1) приобретает наиболее простой вид:

${\displaystyle {\mathsf {P}}{\bigl \{}\mid S_{n}\mid >t\sigma {\sqrt {n}}{\bigr \}}\leqslant 2\exp \left\{-{\frac {t^{2}}{2(1+{\frac {a}{3}})}}\right\}}$ (2),

где ${\displaystyle a=Lt/{\sqrt {n}}\sigma }$. А. Н. Колмогоровым была получена нижняя оценка вероятности в (1). Оценки Бернштейна – Колмогорова используются, в частности, при доказательстве закона повторного логарифма. Некоторое представление о точности (2) можно получить из сравнения с приближённым значением для левой части (2), даваемым центральной предельной теоремой в виде

${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{t}^{\infty }e^{-u^{2}/2}\,du={\frac {2}{{\sqrt {2\pi }}t}}\left(1-{\frac {\theta }{t^{2}}}\right)e^{-t^{2}/2}}$,

где ${\displaystyle 0<\theta <1}$. После 1967 г. одномерные неравенства Бернштейна были распространены на многомерный и бесконечномерный случаи (^[2]; ^[3]; ^[4]; ^[5]; ^[6]).

Неравенство Бернштейна для производной от тригонометрического полинома или алгебраического многочлена, дающее оценку этой производной через наибольшее значение самого полинома (многочлена). Если ${\displaystyle T_{n}(x)}$ – тригонометрический полином порядка не выше ${\displaystyle n}$,

${\displaystyle M=\max _{0\leqslant x\leqslant 2\pi }\mid T_{n}(x)\mid }$,

то для любого ${\displaystyle x}$ выполняются неравенства (Бернштейн. 1952):

${\displaystyle \mid T_{n}^{(r)}(x)\mid \leqslant Mn^{r},\quad r=1,2,\ldots }$.

Оценка неулучшаема; ибо число ${\displaystyle M=1}$ для

${\displaystyle T_{n}(x)=\cos n(x-x_{0})}$

и

${\displaystyle \max _{0\leqslant x\leqslant 2\pi }\mid T_{n}^{(r)}(x)\mid =n^{r}}$.

Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов является частным случаем следующей теоремы (Бернштейн. 1952): если ${\displaystyle f(x)}$ – целая функция степени ${\displaystyle \leqslant \sigma }$ и

${\displaystyle M=\sup _{-\infty <x<\infty }\mid f(x)\mid }$,

то

${\displaystyle \sup _{-\infty <x<\infty }\mid f^{(r)}(x)\mid \leqslant M\sigma ^{r}\quad (r=1,2,\ldots )}$.

Неравенство Бернштейна для алгебраических многочленов имеет следующий смысл ( ^[7]): если многочлен

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}x^{k}}$

удовлетворяет условию

${\displaystyle \mid P_{n}(x)\mid \leqslant M,\quad a\leqslant x\leqslant b}$,

то для его производной ${\displaystyle P_{n}^{\prime }(x)}$ выполняется соотношение

${\displaystyle \mid P_{n}^{\prime }(x)\mid \leqslant {\frac {Mn}{\sqrt {(x-a)(x-b)}}},\quad a\leqslant x\leqslant b}$,

которое является неулучшаемым. Как заметил сам С. Н. Бернштейн (см. Бернштейн, 1952, С. 20), последнее неравенство в сущности вытекает из доказательства неравенства Маркова самим А. А. Марковым.

Неравенство Бернштейна существенно используется при получении обратных теорем теории приближения функций. Имеется ряд обобщений неравенства Бернштейна, в частности для целых функций многих переменных.