Функция экспоненциального типа

Фу́нкция экспоненциа́льного ти́па, целая функция ${\displaystyle f(z)}$, удовлетворяющая условию:

${\displaystyle \mid f(z)\mid <Ae^{a\mid z\mid },\quad \mid z\mid <\infty ,\quad A<\infty ,\quad a<\infty }$.

Если ${\displaystyle f(z)}$ представить рядом

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}z^{k}}$,

то

${\displaystyle \varlimsup _{k\rightarrow \infty }{\sqrt[{k}]{\left|a_{k}\right|}}<\infty }$.

Простейшие примеры функций экспоненциального типа: ${\displaystyle e^{cz}}$, ${\displaystyle \sin \alpha z}$, ${\displaystyle \cos \beta z}$, ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}e^{{}^{a}k^{z}}}$.

Функция экспоненциального типа имеет интегральное представление

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\gamma (t)e^{zt}\,dt}$,

где ${\displaystyle \gamma (t)}$ – функция, ассоциированная по Борелю с ${\displaystyle f(z)}$, а ${\displaystyle C}$ – замкнутый контур, охватывающий все особенности ${\displaystyle \gamma (t)}$.