Неравенство Маркова

Нера́венство Ма́ркова для производной от алгебраического многочлена, неравенство, дающее оценку максимального значения этой производной через наибольшее значение самого многочлена. Пусть ${\displaystyle P_{n}(x)}$ – алгебраический многочлен степени не выше ${\displaystyle n}$ и

${\displaystyle M=\max _{a\leqslant x\leqslant b}\left|P_{n}(x)\right|}$.

Тогда для любого ${\displaystyle x}$ из отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \left|P_{n}^{\prime }(x)\right|\leqslant {\frac {2Mn^{2}}{b-a}}.}$ (*)

Неравенство (*) получено А. А. Марковым-старшим в 1889 г. (Марков. 1948^[1]). Неравенство Маркова является точным. Так, если ${\displaystyle a=-1}$, ${\displaystyle b=1}$,

${\displaystyle P_{n}(x)=\cos n\arccos x,}$

то

${\displaystyle M=1,\quad P_{n}^{\prime }(1)=n^{2}}$

и в неравенстве (*) достигается знак равенства.

Для производной любого порядка ${\displaystyle r\leqslant n}$ из неравенства Маркова следует соотношение

${\displaystyle \left|P_{n}^{(r)}(x)\right|\leqslant {\frac {M2^{r}}{(b-a)^{r}}}n^{2}(n-1)^{2}\ldots (n-r+1)^{2},\qquad a\leqslant x\leqslant b,}$

которое при ${\displaystyle r\geqslant 2}$ уже не является точным. Точное неравенство для ${\displaystyle P_{n}^{(r)}(x)}$ получено В. А. Марковым (Марков. 1892^[2]):

${\displaystyle \left|P_{n}^{(r)}(x)\right|\leqslant {\frac {M2^{r}n^{2}\left(n^{2}-1^{2}\right)\left(n^{2}-2^{2}\right)\ldots \left(n^{2}-(r-1)^{2}\right)}{(b-a)^{r}(2r-1)!!}}}$.