Вероятности больших отклонений

Вероя́тности больши́х отклоне́ний, вероятности вида

${\displaystyle {\mathsf {P}}(S_{n}-b_{n}>a_{n}),\ \ {\mathsf {P}}(S_{n}-b_{n}<-a_{n})\ \ {\textrm {\text{и}}}\ \ {\mathsf {P}}(\mid S_{n}-b_{n}\mid >a_{n})}$,

где

${\displaystyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$,

${\displaystyle \left\{X_{j}\right\}}$ – последовательность независимых случайных величин, а ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ и ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ – две последовательности чисел такие, что ${\displaystyle a_{n}>0}$, ${\displaystyle {\ce {\ {\dfrac {S_{n}-b_{n}}{a_{n}}}->0}}}$ по вероятности.

Если случайные величины ${\displaystyle X_{1},X_{2}\ldots }$ имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и конечной дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, то можно положить ${\displaystyle b_{n}=0}$ и ${\displaystyle a_{n}=x_{n}\sigma {\sqrt {n}}}$, где ${\displaystyle {\ce {x_{n}->+\infty }}}$ при ${\displaystyle {\ce {n->\infty }}}$. Особенно большое значение имеют теорема Крамера и её усиления.

В случаях, когда необходимо иметь гарантированные оценки для вероятностей больших отклонений, пользуются неравенствами типа Чебышева – это т. н. показательные оценки для вероятностей больших отклонений. Например, если случайные величины ${\displaystyle X_{j}}$ независимы, ${\displaystyle {\mathsf {E}}{X_{j}}=0}$, ${\displaystyle {\mathsf {E}}{X_{j}^{2}}=\sigma _{j}^{2}}$, ${\displaystyle \mid X_{j}\mid \leqslant L}$ с вероятностью ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle B_{n}^{2}=\sigma _{1}^{2}+\ldots +\sigma _{n}^{2}}$ и ${\displaystyle a=xL/B_{n}}$, то при всех ${\displaystyle x\geqslant 0}$ верна оценка

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{\mid S_{n}\mid >xB_{n}\}\leqslant \ 2\mathop {\rm {exp}} \left\{-{\frac {x^{2}}{2}}\left(1+{\frac {a}{3}}\right)^{-1}\right\}}$,

правая часть которой экспоненциально убывает с ростом ${\displaystyle x}$.