Состоятельная оценка

Состоя́тельная оце́нка, статистическая оценка параметра распределения вероятностей, обладающая тем свойством, что при увеличении числа наблюдений вероятность отклонения оценки от оцениваемого параметра на величину, превосходящую заданное число, стремится к нулю. Точнее, если ${\displaystyle X_{1},X_{2},..}$. – независимые результаты наблюдений, распределение которых зависит от неизвестного параметра ${\displaystyle \theta }$, и при каждом ${\displaystyle n}$ функция ${\displaystyle T_{n}=T_{n}(X_{1},...,X_{n})}$ является оценкой ${\displaystyle \theta }$, построенной по первым ${\displaystyle n}$ наблюдениям, то ${\displaystyle T_{n}}$ называется состоятельной оценкой, если при любом допустимом ${\displaystyle \theta }$ для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ при ${\displaystyle {\ce {n->\infty }}}$

${\displaystyle {\ce {{\mathsf {P}}\{\mid T_{n}-\theta \mid >\epsilon \}->0}}}$

(т. е. ${\displaystyle T_{n}}$ сходится к ${\displaystyle \theta }$ по вероятности).

Любая несмещённая оценка ${\displaystyle T_{n}}$ параметра ${\displaystyle \theta }$ (или оценка с ${\displaystyle {\ce {{\mathsf {E}}T_{n}->\theta }}}$), дисперсия которой стремится к нулю с ростом ${\displaystyle n}$, является состоятельной оценкой параметра ${\displaystyle \theta }$. Так, выборочное среднее

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$

и выборочная дисперсия

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}(X_{j}-{\bar {X}})^{2}}$

суть состоятельная оценка соответственно математического ожидания и дисперсии нормального распределения.

Понятие «состоятельная оценка» было введено Р. Э. Фишером (1922).