Локализация в коммутативной алгебре

Локализа́ция в коммутати́вной а́лгебре, переход от коммутативного кольца ${\displaystyle A}$ к кольцу частных ${\displaystyle A\left[S^{-1}\right]}$, где ${\displaystyle S}$ – некоторое подмножество ${\displaystyle A}$. Кольцо ${\displaystyle A\left[S^{-1}\right]}$ можно определить как решение задачи об универсальном отображении ${\displaystyle A}$ в кольцо, при котором все элементы множества ${\displaystyle S}$ становятся обратимыми. Имеются, однако, и явные конструкции ${\displaystyle A\left[S^{-1}\right]}$:

1) как множества дробей вида ${\displaystyle a/s}$, где ${\displaystyle a\in A}$, а ${\displaystyle s}$ является произведением элементов из ${\displaystyle S}$ [при этом две дроби ${\displaystyle a/s}$ и ${\displaystyle a^{\prime }/s^{\prime }}$ считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда найдётся ${\displaystyle s^{\prime \prime }}$, являющийся произведением элементов из ${\displaystyle S}$ и такой, что ${\displaystyle s^{\prime \prime }\left(sa^{\prime }-s^{\prime }a\right)=0}$; складываются и умножаются дроби по обычным правилам];

2) как факторкольцо кольца многочленов ${\displaystyle A\left[X_{s}\right]}$, ${\displaystyle s\in S}$, по идеалу, порождённому многочленами ${\displaystyle sX_{s}-1}$, ${\displaystyle s\in S}$;

3) как индуктивный предел индуктивной системы ${\displaystyle A}$-модулей ${\displaystyle \left(A_{i},\varphi _{ij}\right)}$, где ${\displaystyle i}$ пробегает естественно упорядоченный свободный коммутативный моноид ${\displaystyle N^{(S)}}$. При этом все ${\displaystyle A_{i}}$ изоморфны ${\displaystyle A}$, а гомоморфизмы ${\displaystyle \varphi _{ij}:A_{i}\rightarrow A_{j}}$ при ${\displaystyle j=i+n_{1}s_{1}+\ldots +n_{k}s_{k}}$ совпадают с умножением на ${\displaystyle s_{1}^{n_{1}}\cdot \ldots \cdot s_{k}^{n_{k}}\in A}$.

Кольцо ${\displaystyle A}$ канонически отображается в ${\displaystyle A\left[S^{-1}\right]}$ и превращает последнее кольцо в ${\displaystyle A}$-алгебру. Это отображение ${\displaystyle A\rightarrow A\left[S^{-1}\right]}$ инъективно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle S}$ не содержит ни одного делителя нуля в ${\displaystyle A}$. Напротив, если ${\displaystyle S}$ содержит нильпотентный элемент, то ${\displaystyle A[S-1]=0}$.

Без потери общности множество ${\displaystyle S}$ можно считать замкнутым относительно произведения (такое множество называется мультипликативным, или мультипликативной системой). В этом случае кольцо ${\displaystyle A\left[S^{-1}\right]}$ обозначается также ${\displaystyle S^{-1}A}$ или ${\displaystyle A_{S}}$. Важнейшие примеры мультипликативных систем:

a) множество ${\displaystyle \left\{s^{n}\right\}}$ всех степеней элементов ${\displaystyle s\in A}$;

б) множество ${\displaystyle A\backslash {\mathfrak {P}}}$, т. е. дополнение к простому идеалу ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$. Соответствующее кольцо частных является локальным и обозначается ${\displaystyle A_{\mathfrak {P}}}$;

в) множество ${\displaystyle R}$ всех не делителей нуля в ${\displaystyle A}$.

Кольцо ${\displaystyle R^{-1}A}$ называется полным кольцом частных кольца ${\displaystyle A}$. Если ${\displaystyle A}$ целостно, ${\displaystyle R^{-1}A=A_{(0)}}$ является полем частных.

Операция локализации без труда переносится на произвольные ${\displaystyle A}$-модули ${\displaystyle M}$, если положить

${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=M\otimes _{A}A\left[S^{-1}\right]}$.

Переход от ${\displaystyle M}$ к ${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]}$ является точным функтором. Иначе говоря, ${\displaystyle A}$-модуль ${\displaystyle A\left[S^{-1}\right]}$ является плоским. Локализация коммутирует с прямыми суммами и индуктивными пределами.

С геометрической точки зрения локализация означает переход к открытому подмножеству. Точнее, для ${\displaystyle s\in A}$ спектр ${\displaystyle \operatorname {Spec} A\left[s^{-1}\right]}$ канонически отожествляется с открытым (в топологии Зариского) подмножеством ${\displaystyle D(s)\subset \operatorname {Spec} A}$, состоящим из простых идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, не содержащих ${\displaystyle s}$. Более того, эта операция позволяет связать с каждым ${\displaystyle A}$-модулем ${\displaystyle M}$ квазикогерентный пучок ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ на аффинной схеме ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$, для которого

${\displaystyle \Gamma (D(s),{\tilde {M}})=M\left[s^{-1}\right]}$.

На локализацию можно смотреть как на операцию, позволяющую обратить морфизмы умножения на ${\displaystyle s\in S}$ в категории ${\displaystyle A}$-модулей. При таком подходе операция локализации допускает широкое обобщение на произвольные категории (см. в статье Локализация в категориях).