Квазикогерентный пучок

Квазикогере́нтный пучо́к, пучок модулей, локально задаваемый образующими и соотношениями. Точнее, пусть ${\displaystyle X}$ – топологическое пространство и ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ – пучок колец на ${\displaystyle X}$, пучок ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-модулей ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ называется квазикогерентным, если для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ найдётся открытая окрестность ${\displaystyle U}$ и точная последовательность пучков ${\displaystyle \left(\left.{\mathcal {A}}\right|_{U}\right)}$-модулей

${\displaystyle {\mathcal {A}}|_{U}^{(I)}\longrightarrow {\mathcal {A}}|_{U}^{(J)}\longrightarrow {\mathcal {F}}|_{U}\longrightarrow 0,}$

где ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ – некоторые множества, ${\displaystyle \mid _{U}}$ означает ограничение пучка на ${\displaystyle U}$, а ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(l)}}$ есть прямая сумма ${\displaystyle I}$ экземпляров ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Аналогично определяется квазикогерентный пучок на топологизированной категории с пучком колец.

Если ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ – аффинная схема, то сопоставление ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {T}})}$ осуществляет эквивалентность категории квазикогерентных пучков ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-модулей с категорией ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {A}})}$-модулей. Благодаря этому квазикогерентные пучки находят широкое применение в теории схем. См. также Когерентный пучок.