Точный функтор

То́чный фу́нктор, функтор, перестановочный с некоторыми пределами и копределами. А именно: функтор ${\displaystyle {\ce {F:{\mathfrak {A}}->{\mathfrak {B}}}}}$ между абелевыми категориями ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ называется точным, если он переводит короткие точные последовательности

${\displaystyle {{\ce {0 -> A -> B -> C -> 0}}}}$

в категории ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ в короткие точные последовательности

${\displaystyle {{\ce {0 -> F(A) -> F(B) -> F(C) -> 0}}}}$

категории ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Если ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ – неабелевы категории, то функтор ${\displaystyle {\ce {F:{\mathfrak {A}}->{\mathfrak {B}}}}}$ называется точным, если он переводит коммутативные диаграммы

${\displaystyle {\ce {A\,{\stackrel {\varepsilon _{1}}{\underset {\varepsilon _{2}}{\rightrightarrows }}}\,B{\stackrel {\nu }{->}}C}}}$

из ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, в которых ${\displaystyle \left(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\right)}$ – ядерная пара ${\displaystyle \nu }$, а ${\displaystyle \nu }$ – коядро пары ${\displaystyle \left(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\right)}$, в диаграммы с теми же свойствами в ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.