Случайное поле

Случа́йное по́ле (случайный процесс с многомерным временем, случайный процесс с многомерным параметром), случайная функция, заданная на множестве точек какого-то многомерного пространства. Случайные поля представляют собой важный тип случайных функций, часто встречающийся в различных приложениях. Примерами случайных полей, зависящих от трёх пространственных координат ${\displaystyle x,y,z}$ (а также и от времени ${\displaystyle t}$), могут служить, в частности, поля компонент скорости, давления и температуры турбулентного течения жидкости или газа (Монин. 1965–1967^[1]); случайным полем, зависящим от двух координат ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, будет высота ${\displaystyle z}$ взволнованной морской поверхности или поверхности какой-либо шероховатой пластинки (Хусу. 1975^[2]); при исследовании глобальных атмосферных процессов в масштабе всей Земли поля наземного давления и других метеорологических характеристик иногда рассматриваются как случайные поля на сфере и т. д.

Теория случайных полей общего вида фактически не отличается от общей теории случайных функций; более содержательные конкретные результаты удаётся получить лишь для ряда специальных классов случайных полей, обладающих дополнительными свойствами, облегчающими их изучение. Одним из таких классов является класс однородных случайных полей, заданных на однородном пространстве ${\displaystyle S}$ с группой преобразований ${\displaystyle G}$ и обладающих тем свойством, что распределения вероятностей значений поля на произвольной конечной группе точек пространства ${\displaystyle S}$ или же среднее значение поля и вторые моменты его значений в парах точек не меняются при применении к аргументам поля какого-либо преобразования из группы ${\displaystyle G}$. Однородные случайные поля на евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k},}$ ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,}$ или на решётке ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$ точек ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ с целочисленными координатами, отвечающие выбору в качестве группы ${\displaystyle G}$ совокупности всевозможных (или всех целочисленных) параллельных переносов, являются естественным обобщением стационарных случайных процессов, на которое просто переносится бо́льшая часть результатов, доказанных для таких процессов; большой интерес для приложений (в частности, для механики турбулентности, ср. Монин. 1965–1967) представляют также т. н. однородные и изотропные поля на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, отвечающие выбору в качестве группы ${\displaystyle G}$ совокупности всевозможных изометрических преобразований соответствующего пространства. Важной особенностью однородных случайных полей является существование спектральных разложений специального вида как самих таких полей, так и их корреляционных функций (Хеннан. 1970^[3]; Ядренко. 1980^[4]).

Другим привлекающим много внимания классом случайных полей является класс марковских случайных полей, заданных в некоторой области ${\displaystyle K}$ пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$. Условие марковости случайного поля ${\displaystyle U(x)}$, грубо говоря, означает, что для достаточно широкой совокупности открытых множеств ${\displaystyle Q}$, имеющих границу ${\displaystyle \Gamma }$, фиксация значений поля в ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности ${\displaystyle \Gamma ^{\varepsilon }}$ границы ${\displaystyle \Gamma }$ при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$ делает семейства случайных величин ${\displaystyle \{U(x),x\in Q\backslash \Gamma ^{\varepsilon }\}}$ и ${\displaystyle \{U(x),x\in T\backslash \Gamma ^{\varepsilon }\}}$, где ${\displaystyle T}$ – дополнение замыкания ${\displaystyle Q}$ в ${\displaystyle K}$, взаимно независимыми (или, в случае марковости в широком смысле, взаимно некоррелированными; см., например, Розанов. 1981^[5]). Обобщением понятия марковского случайного поля является понятие ${\displaystyle L}$-марковского случайного поля, для которого указанная выше независимость (или некоррелированность) имеет место лишь при замене границы ${\displaystyle \Gamma }$ области ${\displaystyle Q}$ специальным образом определённой утолщённой границей ${\displaystyle \Gamma +L}$. Теория марковских случайных полей и ${\displaystyle L}$-марковских полей имеет ряд важных применений в физической теории квантовых полей и в статистической физике (Саймон. 1976^[6]; Престон. 1977^[7]). Ещё одним классом случайных полей, возникшим из задач статистической физики, является класс гиббсовских случайных полей, распределения вероятностей которых могут быть выражены через распределение Гиббса (Престон. 1977; Многокомпонентные случайные системы. 1978^[8]). Удобным способом задания гиббсовских случайных полей оказалось их задание с помощью совокупности условных распределений вероятностей значений поля в конечной области, отвечающих фиксированным всем его значениям вне этой области. Следует отметить, что случайное поле на гладком многообразии ${\displaystyle S}$ часто удобно рассматривать как частный случай обобщённого случайного поля, для которого могут не существовать значения в одной заданной точке, но имеют смысл сглаженные значения ${\displaystyle U(\varphi )}$, представляющие собой случайные линейные функционалы, определённые на некотором пространстве ${\displaystyle D}$ гладких основных функций ${\displaystyle \varphi (x)}$. Обобщённые случайные поля (особенно обобщённые марковские случайные поля) используются в физических приложениях; рассматривая лишь функции ${\displaystyle \varphi (x)}$ такие, что

${\displaystyle \int \varphi (x)\,dx=0,}$

в рамках теории обобщённых случайных полей можно определить также родственные случайным процессам со стационарными приращениями локально однородные (и локально однородные и локально изотропные) случайные поля, играющие важную роль в статистической теории турбулентности (см., например, Монин. 1965–1967; Гельфанд. 1961^[9]).