Прогнозирование случайных процессов

Прогнози́рование случа́йных проце́ссов, предсказание значения случайного процесса в некоторый будущий момент времени по наблюдённым значениям этого процесса. Практически во всех представляющих интерес ситуациях предсказываемое значение процесса ${\displaystyle X(t)}$ в момент ${\displaystyle t=t_{1}}$ не может быть точно определено по имеющимся данным наблюдений и можно лишь добиваться, чтобы случайная ошибка прогноза ${\displaystyle \Delta =X(t_{1})-{\hat {X}}(t_{1})}$, где ${\displaystyle {\hat {X}}(t_{1})}$ – предсказанное значение ${\displaystyle X(t_{1})}$, в среднем была по возможности наименьшей. В теории прогнозирования случайных процессов оптимальным (наилучшим) считается прогноз, для которого минимально математическое ожидание квадрата ошибки ${\displaystyle \Delta }$; такой прогноз совпадает с условным математическим ожиданием случайной величины ${\displaystyle X(t_{1})}$ при условии, что наблюдаемые величины, по которым строится прогноз, принимают фиксированные (известные из наблюдений) значения. Большое место в теории прогнозирования случайных процессов занимает теория оптимального линейного прогнозирования случайных процессов, посвящённая методам нахождения линейной функции от данных наблюдений, такой, что для неё средний квадрат отклонения от ${\displaystyle X(t_{1})}$ меньше, чем для всех других линейных функций; в ряде практически важных случаев такое оптимальное линейное прогнозирование случайных процессов совпадает с общим оптимальным прогнозированием случайных процессов.

Общая теория оптимального линейного прогнозирования случайных процессов для стационарных случайных процессов была разработана А. Н. Колмогоровым и Н. Винером в 1940-х гг. Большое развитие получила также теория оптимального (и линейного, и общего нелинейного) прогнозирования процессов, связанных с марковскими процессами.