Коэффициенты Фурье

Коэффицие́нты Фурье́, коэффициенты разложения периодической функции в ряд Фурье. Функция ${\displaystyle f(x)}$, имеющая период ${\displaystyle 2T}$, представляется рядом Фурье

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos {\frac {\pi kx}{T}}+b_{k}\sin {\frac {\pi kx}{T}}\right)}$,

где коэффициенты Фурье определяются равенствами

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{T}}\int _{-T}^{T}f(x)\cos {\frac {\pi kx}{T}}\,dx,\quad k=0,1,\ldots ,}$
${\displaystyle b_{k}={\frac {1}{T}}\int _{-T}^{T}f(x)\sin {\frac {\pi kx}{T}}\,dx,\quad k=1,2,\ldots }$,

которые называются формулами Эйлера – Фурье.

Непрерывная функция ${\displaystyle f(x)}$ однозначно определяется своими коэффициентами Фурье. Для интегрируемой функции ${\displaystyle f(x)}$ её коэффициенты Фурье стремятся к нулю при ${\displaystyle {\ce {k->\infty }}}$, причём скорость их убывания зависит от дифференциальных свойств функции ${\displaystyle f(x)}$; например, если ${\displaystyle f(x)}$ имеет ${\displaystyle l}$ непрерывных производных, то существует такое число ${\displaystyle c}$, что${\displaystyle \mid a_{k}\mid \leqslant c/k^{l}}$, ${\displaystyle \mid b_{k}\mid \leqslant c/k^{l}}$.

Коэффициенты Фурье связаны с ${\displaystyle f(x)}$ также равенством Парсеваля

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{-T}^{T}\mid f(x)\mid ^{2}\,dx={\frac {\mid a_{0}\mid ^{2}}{2}}+\sum _{k=2}^{\infty }(\mid a_{k}\mid ^{2}+\mid b_{k}\mid ^{2})}$.

О коэффициентах Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$ по любой нормированной ортогональной системе функций ${\displaystyle \phi _{1}(x),\phi _{2}(x),\ldots }$ на промежутке ${\displaystyle (a,b)}$ см. ряд Фурье.