Равномерная алгебра

Равноме́рная а́лгебра, замкнутая относительно равномерной сходимости подалгебра ${\displaystyle A}$ алгебры ${\displaystyle C(X)}$ всех непрерывных комплексных функций на компакте ${\displaystyle X}$, содержащая все функции-константы и разделяющая точки компакта ${\displaystyle X}$. Последнее условие означает, что для каждой пары ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ различных точек из ${\displaystyle X}$ в алгебре ${\displaystyle A}$ имеется функция ${\displaystyle f}$, для которой ${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$. Равномерные алгебры обычно снабжают ${\displaystyle \sup }$-нормой:

${\displaystyle }$
${\displaystyle midf}$
${\displaystyle mid=\sup _{X}\mid f(x)\mid }$.

При этом ${\displaystyle }$
${\displaystyle midf^{2}}$
${\displaystyle mid=}$
${\displaystyle midf}$
${\displaystyle mid^{2}}$. Каждая банахова алгебра с единицей (даже без предположения коммутативности), норма в которой подчинена последнему условию, изоморфна некоторой равномерной алгебре.

Равномерные алгебры составляют важный подкласс класса коммутативных банаховых алгебр над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел.

Каждой точке ${\displaystyle x\in X}$ отвечает гомоморфизм ${\displaystyle \varphi _{x}\colon A\to \mathbb {C} }$, действующий по правилу ${\displaystyle \varphi _{x}(f)=f(x)}$. Поэтому ${\displaystyle X}$ естественно топологически вкладывается в пространство максимальных идеалов алгебры ${\displaystyle A}$ и при соответствующем отождествлении поглощает границу Шилова. При изучении равномерных алгебр важную роль играют точки пика ${\displaystyle (}$то есть такие точки из ${\displaystyle X}$, в которых достигается строгий максимум модуля хотя бы для одного элемента из ${\displaystyle A)}$, мультипликативные вероятностные меры на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (}$т. е. представляющие меры гомоморфизмов из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} )}$ и ортогональные к ${\displaystyle A}$ меры на ${\displaystyle X}$. Многие конкретные результаты, относящиеся к равномерным алгебрам, касаются связей между этими объектами.

Равномерная алгебра называется симметричной, если вместе с каждой функцией к алгебре принадлежит и комплексно сопряжённая ей функция. Согласно теореме Стоуна – Вейерштрасса, каждая симметричная равномерная алгебра на компакте ${\displaystyle X}$ совпадает с ${\displaystyle C(X)}$. Полярный класс составляют так называемые антисимметричные равномерные алгебры, вовсе не содержащие действительных функций, кроме констант. Типичный пример – алгебра всех функций, аналитических в открытом единичном диске комплексной плоскости и непрерывных в его замыкании (диск-алгебра). Теорема Шилова – Бишопа: каждая равномерная алгебра определённым способом может быть «склеена» из антисимметричных. Известны и более тонкие классификационные теоремы. Вместе с тем произвольные равномерные алгебры не сводятся к алгебрам аналитических функций типа диск-алгебра. Например, можно сконструировать такую равномерную алгебру на одномерном компакте, который совпадает с её пространством максимальных идеалов, что все точки компакта являются точками пика и одновременно среди элементов алгебры только тождественный нуль может принимать нулевое значение на непустом открытом подмножестве.