Уравнение Урысона

Уравне́ние Урысо́на, нелинейное интегральное уравнение вида

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{\Omega }K[x,s,\varphi (s)]\,ds+f(x),\quad x\in \Omega ,}$ (*)

где ${\displaystyle \Omega }$ – ограниченное замкнутое множество конечномерного евклидова пространства, ${\displaystyle K[x,s,t]}$, ${\displaystyle f(x)}$ – заданные функции при ${\displaystyle x,s\in \Omega }$, ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$. Пусть функция ${\displaystyle K[x,s,t]}$ непрерывна по совокупности переменных ${\displaystyle x,s\in \Omega }$, ${\displaystyle \mid t\mid \leqslant \rho }$ (${\displaystyle \rho }$ – некоторое положительное число), и пусть</t<\infty<></math>

${\displaystyle \left|{\frac {\partial K[x,s,t]}{\partial t}}\right|\leqslant M=\operatorname {const} ,\quad x,s\in \Omega ,\quad \mid t\mid \leqslant \rho }$.

Тогда, если

${\displaystyle \mid \lambda \mid M\operatorname {mes} \Omega <1,\quad \mid \lambda \mid \max _{x\in \Omega }\int _{\Omega }\max _{\mid t\mid \leqslant \rho }\mid K[x,s,t]\mid \,ds\leqslant \rho }$,

то уравнение

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{\Omega }K[x,s,\varphi (s)]\,ds}$

имеет единственное непрерывное решение ${\displaystyle \varphi (x)}$, ${\displaystyle x\in \Omega }$, удовлетворяющее неравенству ${\displaystyle \mid \varphi (x)\mid \leqslant \rho }$. Если ${\displaystyle \varphi _{0}}$ – произвольная непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству ${\displaystyle \mid \varphi _{0}(x)\mid \leqslant \rho }$ (${\displaystyle x\in \Omega }$), то последовательные приближения

${\displaystyle \varphi _{n}(x)=\lambda \int _{\Omega }K[x,s,\varphi _{n-1}(s)]\,ds,\quad n=1,2,\dots }$

равномерно на ${\displaystyle \Omega }$ сходятся к ${\displaystyle \varphi (x)}$.

Пусть оператор Урысона

${\displaystyle A\varphi (x)=\int _{\Omega }K[x,s,\varphi (s)]\,ds}$

действует в пространстве ${\displaystyle L_{p}(\Omega )}$, ${\displaystyle p>1}$, для всех ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ и ${\displaystyle x,s\in \Omega }$ выполняется неравенство

${\displaystyle \mid K(x,s,t_{1})-K(x,s,t_{2})\mid \leqslant K_{1}(x,s)\mid t_{1}-t_{2}\mid }$,

где ${\displaystyle K_{1}}$ – измеримая функция, причём

${\displaystyle \Delta ^{p}=\int _{\Omega }\left(\int _{\Omega }K_{1}^{\frac {p}{p-1}}(x,s)\,ds\right)^{p-1}\,dx<\infty }$.

Тогда при ${\displaystyle \mid \lambda \mid <\Delta ^{-1}}$ и ${\displaystyle f\in L_{p}(\Omega )}$ уравнение (*) имеет в ${\displaystyle L_{p}(\Omega )}$ единственное решение.

Уравнение (*) при определённых предположениях впервые было изучено П. С. Урысоном (см. Нелинейное интегральное уравнение).