Преобразование Гильберта

Преобразова́ние Ги́льберта функции ${\displaystyle f}$, несобственный интеграл

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x+t)-f(x-t)}{t}}\,dt.}$ (1)

Если ${\displaystyle f\in L(-\infty ,\infty )}$, то функция ${\displaystyle g}$ существует почти для всех значений ${\displaystyle x}$. Если ${\displaystyle f\in L_{p}(-\infty ,\infty )}$, ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$, тогда функция ${\displaystyle g}$ также принадлежит ${\displaystyle L_{p}(-\infty ,\infty )}$ и почти всюду имеет место двойственная формула [обращение преобразования (1)]:

${\displaystyle f(x)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {g(x+t)-g(x-t)}{t}}\,dt,}$ (2)

причём

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mid g(x)\mid ^{2}\,dx\leqslant M_{p}\int _{-\infty }^{\infty }\mid f(x)\mid ^{p}\,dx,}$ (3)

где константа ${\displaystyle M_{p}}$ зависит только от ${\displaystyle p}$. Формулы (1), (2) эквивалентны формулам

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt,}$ (4)

${\displaystyle f(x)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g(t)}{t-x}}\,dt,}$ (5)

в которых интегралы понимаются в смысле главного значения.

Преобразованием Гильберта функции ${\displaystyle f}$ называется также рассмотренный в смысле главного значения интеграл

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\operatorname {ctg} {\frac {t-x}{2}}\,dt.}$ (6)

Этот интеграл часто называют сингулярным интегралом Гильберта. В теории рядов Фурье функцию ${\displaystyle g}$, определяемую формулой (6), называют сопряжённой с ${\displaystyle f}$.

Если${\displaystyle f\in L(0,2\pi )}$, то ${\displaystyle g}$ существует почти всюду, а если ${\displaystyle f}$ удовлетворяет условию Липшица с показателем ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$, то ${\displaystyle g}$ существует при любом ${\displaystyle x}$ и удовлетворяет тому же условию. Если ${\displaystyle f\in L_{p}(0,2\pi ),p\in (1,\infty )}$, то ${\displaystyle g}$ обладает тем же свойством и имеет место неравенство, аналогичное (3), в котором интегралы взяты на интервале ${\displaystyle (0,2\pi )}$. Таким образом, интегральные операторы, порождаемые преобразованием Гильберта, являются ограниченными (линейными) операторами в соответствующих пространствах ${\displaystyle L_{p}}$.

Когда${\displaystyle f}$ удовлетворяет условию Липшица или ${\displaystyle f\in L_{p}(0,2\pi )}$ и, кроме того, ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }g(x)\,dx=0}$, то имеет место двойственная формула

${\displaystyle f(x)=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g(t)\operatorname {ctg} {\frac {t-x}{2}}\,dt,}$ (7)

причём

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f(x)\,dx=0}$.

В классе функций, удовлетворяющих условию Липшица, равенство (7) справедливо всюду, а в классе функций, суммируемых с ${\displaystyle p}$-й степенью, – почти всюду.

Каждую из выписанных выше двойственных формул можно рассматривать как интегральное уравнение 1-го рода (см. Мусхелишвили. 1968^[1]; Бари. 1961^[2]); тогда вторая формула даст решение этого уравнения.

Когда функции ${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {t-x}{2}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{t-x}}}$ рассматриваются как ядра интегральных операторов, то их часто называют ядром Гильберта и ядром Коши. Между этими ядрами в случае единичной окружности существует простая связь:

${\displaystyle {\frac {d\tau }{\tau -\xi }}={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {ctg} {\frac {t-x}{2}}+i\right)\,dt}$,

где ${\displaystyle \xi =e^{ix}}$, ${\displaystyle \tau =e^{it}}$.