Артиново кольцо

А́ртиново кольцо́, артиново справа кольцо, кольцо, удовлетворяющее условию минимальности для правых идеалов, т. е. кольцо, в котором любое непустое частично упорядоченное по включению множество ${\displaystyle M}$ правых идеалов имеет минимальный элемент (см. Artin. 1944^[1]) – такой правый идеал из ${\displaystyle M}$, который не содержит строго никакого правого идеала из ${\displaystyle M}$. Другими словами, артиново кольцо – это кольцо, являющееся правым артиновым модулем над самим собой. Кольцо ${\displaystyle A}$ есть артиново кольцо тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей правых идеалов, т. е. для любой убывающей последовательности правых идеалов ${\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \ldots B_{n}\supseteq \ldots }$ кольца ${\displaystyle A}$ существует такое натуральное число ${\displaystyle m}$, что ${\displaystyle B_{m}=B_{m+1}=B_{m+2}\ldots }$ . Аналогично определяется артиново слева кольцо.

Всякое ассоциативное артиново кольцо с единицей нётерово справа. Всякая конечномерная алгебра над полем является артиновым кольцом. Наиболее полно изучены свойства артиновых колец в классе альтернативных колец, и особенно в классе ассоциативных колец. Радикал Джекобсона ассоциативного артинова кольца нильпотентен и содержит всякий односторонний нильидеал. Кольцо ${\displaystyle A}$ тогда и только тогда является простым ассоциативным артиновым кольцом, когда оно изоморфно кольцу всех матриц некоторого конечного порядка над некоторым ассоциативным телом. В классе альтернативных колец каждое простое артиново кольцо либо ассоциативно, либо есть алгебра Кэли – Диксона над своим центром, являющимся в этом случае полем. Строение ассоциативных артиновых колец с нулевым радикалом Джекобсона описано (см. Полупростое кольцо). Имеется вариант этой теоремы в случае альтернативных колец. Для ассоциативных колец с ненулевым радикалом Джекобсона развита достаточно далеко идущая структурная теория (см. Artin. 1944; Джекобсон. 1961^[2]).