Радикал Джекобсона

Радика́л Дже́кобсона кольца ${\displaystyle A}$, идеал ${\displaystyle J(A}$) ассоциативного кольца ${\displaystyle A}$, удовлетворяющий следующим двум условиям: 1) ${\displaystyle J(A)}$ – наибольший квазирегулярный идеал в ${\displaystyle A}$ (кольцо ${\displaystyle R}$ называется квазирегулярным, если для любого его элемента ${\displaystyle a}$ разрешимо уравнение ${\displaystyle a+x+ax=0}$); 2) в факторкольце ${\displaystyle {\overline {A}}=A/J(A)}$ нет квазирегулярных идеалов, кроме нулевого. Радикал Джекобсона был введён и детально исследован Н. Джекобсоном (Джекобсон. 1961) в 1945 г.

Радикал Джекобсона всегда существует и может быть охарактеризован весьма многими способами: ${\displaystyle J(A)}$ есть пересечение ядер всех неприводимых представлений кольца ${\displaystyle A}$, пересечение всех модулярных максимальных правых идеалов, пересечение всех модулярных максимальных левых идеалов; он содержит все квазирегулярные односторонние идеалы, все односторонние нильидеалы и т. д. Если ${\displaystyle I}$ – идеал ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle J(I)=I\cap J(A)}$, если ${\displaystyle A_{n}}$ – кольцо всех матриц порядка ${\displaystyle n}$ над ${\displaystyle A}$, то

${\displaystyle J(A_{n})=(J(A))_{n}}$.

Если на ассоциативном кольце ${\displaystyle A}$ ввести композицию ${\displaystyle \circ }$:

${\displaystyle a\circ b=a+b+ab}$,

то в полугруппе ${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$ радикал ${\displaystyle J(A)}$ относительно композиции ${\displaystyle \circ }$ будет подгруппой.

Над квазирегулярным (т. е. совпадающим со своим радикалом Джекобсона) ассоциативным кольцом не существует ненулевых неприводимых конечно порождённых модулей; однако простые ассоциативные квазирегулярные кольца существуют. Для того чтобы в ассоциативном кольце ${\displaystyle A}$ радикал Джекобсона был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle A}$ было подпрямой суммой примитивных колец.