Дробный идеал

Дро́бный идеа́л, подмножество ${\displaystyle Q}$ поля частных ${\displaystyle K}$ коммутативной области целостности ${\displaystyle R}$, имеющее вид ${\displaystyle Q=a^{-1}I}$, где ${\displaystyle a\in R}$, ${\displaystyle a\neq 0}$, ${\displaystyle I}$ – идеал кольца ${\displaystyle R}$. В других терминах ${\displaystyle Q}$ есть ${\displaystyle R}$-подмодуль поля ${\displaystyle K}$, все элементы которого допускают общий знаменатель, т. е. существует элемент ${\displaystyle a\in R}$, ${\displaystyle a\neq 0}$, такой, что ${\displaystyle ax\in R}$ для всех ${\displaystyle x\in Q}$. Дробные идеалы образуют относительно умножения полугруппу ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ с единицей ${\displaystyle R}$. Для дедекиндовых колец и только для них эта полугруппа является группой. Обратимые элементы полугруппы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ называются обратимыми идеалами. Каждый обратимый идеал имеет конечный базис над ${\displaystyle R}$.