Пучок (в теории пучков)

Пучо́к (в теории пучков), предпучок ${\displaystyle F}$ такой, что для всякого объединения ${\displaystyle U=\bigcup _{\lambda }U_{\lambda }}$ открытых подмножеств ${\displaystyle U_{\lambda }}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ выполнены следующие условия: 1) если ограничения на каждое ${\displaystyle U_{\lambda }}$ элементов ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle s^{\prime }}$ из ${\displaystyle F(U)}$ совпадают, то ${\displaystyle s^{\prime }=s^{\prime \prime }}$; 2) если ${\displaystyle s_{\lambda }\in F\left(U_{\lambda }\right)}$ таковы, что для любой пары индексов ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ ограничения ${\displaystyle s_{\lambda }}$ и ${\displaystyle s_{\mu }}$ на ${\displaystyle U_{\lambda }\cap U_{\mu }}$ совпадают, то существует элемент ${\displaystyle s\in F(U)}$, ограничения которого на все ${\displaystyle U_{\lambda }}$ совпадают с ${\displaystyle s_{\lambda }}$. Всякий пучок на ${\displaystyle X}$ изоморфен пучку ростков непрерывных сечений векторного накрывающего пространства ${\displaystyle {{\ce {p: E -> X}}}}$ над ${\displaystyle X}$, которое определяется однозначно с точностью до изоморфизма (под накрывающим пространством понимается непрерывное отображение ${\displaystyle E}$ на ${\displaystyle X}$, являющееся локальным гомеоморфизмом), поэтому под пучком обычно понимается также и само накрывающее отображение ${\displaystyle {{\ce {p: E -> X}}}}$ (см. в статье Теория пучков).