Группа Нерона – Севери

Гру́ппа Не́рона – Севе́ри, группа классов дивизоров по отношению алгебраической эквивалентности на неособом проективном многообразии.

Пусть ${\displaystyle X}$ – неособое проективное многообразие размерности ${\displaystyle \geqslant 2}$, определённое над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle D(X)}$ – группа дивизоров многообразия ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle D_{a}(X)}$ – подгруппа алгебраически эквивалентных нулю дивизоров. Факторгруппа ${\displaystyle D(X)/D_{a}(X)}$ называется группой Нерона – Севери многообразия ${\displaystyle X}$ и обозначается ${\displaystyle \mathrm {NS} (X)}$. Теорема Нерона – Севери утверждает, что абелева группа ${\displaystyle NS(X)}$ имеет конечное число образующих.

В случае ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ Ф. Севери в цикле статей о теории базы (см., например, Severi. 1934) предложил доказательство этой теоремы, использующее топологические и трансцендентные средства. Первое абстрактное доказательство (годное для поля ${\displaystyle k}$ любой характеристики) принадлежит A. Нерону (Néron. La théorie de la base ... 1952^[1]; Problèmes arithmétique ... 1952; Lang. 1959^[2]).

Ранг группы ${\displaystyle NS(X)}$ совпадает с алгебраическим числом Бетти группы дивизоров на ${\displaystyle X}$, т. е. с алгебраическим рангом многообразия ${\displaystyle X}$. Это число называется также числом Пикара многообразия ${\displaystyle X}$. Элементы конечной периодической подгруппы ${\displaystyle \mathrm {NS} _{\text{tors}}(X)}$ называются делителями Севери, а порядок этой подгруппы – числом Севери; группа ${\displaystyle \mathrm {NS} _{\text{tors}}(X)}$ является бирациональным инвариантом (Бальдассарри. 1961^[3]).

Имеются обобщения теоремы Нерона – Севери на другие группы классов алгебраических циклов (классическая теория – Severi.1934; современная теория – Долгачев. 1974^[4]).