Голоморфная форма

Голомо́рфная фо́рма степени ${\displaystyle p}$ на комплексном многообразии ${\displaystyle M}$, дифференциальная форма ${\displaystyle \alpha }$ типа ${\displaystyle (p,0)}$, удовлетворяющая условию ${\displaystyle d^{\prime \prime }\alpha =0}$, т. е. форма, которая в локальных координатах ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ на ${\displaystyle M}$ записывается в виде

${\displaystyle \alpha =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{p}}a_{i_{1}\ldots i_{p}}\,dz^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dz{i_{p}}}$,

где ${\displaystyle a_{i_{1}\ldots i_{p}}}$ – голоморфные функции. Голоморфные формы степени ${\displaystyle p}$ образуют векторное пространство ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$; ${\displaystyle \Omega ^{0}(M)}$ – это пространство голоморфных функций на ${\displaystyle M}$.

На компактном кэлеровом многообразии ${\displaystyle M}$ пространство ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ совпадает с пространством ${\displaystyle H^{p,0}(M)}$ гармонических форм типа ${\displaystyle (p,0)}$, откуда следует, что ${\displaystyle 2\operatorname {dim} \Omega ^{1}(M)}$ есть первое число Бетти многообразия (Чжэнь Шэн-шэнь. 1961^[1]). Голоморфные формы на римановой поверхности ${\displaystyle M}$ называются также дифференциалами первого рода; если поверхность ${\displaystyle M}$ компактна, то ${\displaystyle \operatorname {dim} \Omega ^{1}(M)}$ равна её роду.

Пространства ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$, ${\displaystyle p=0,1,\ldots ,\operatorname {dim} _{\mathbb {C} }M}$, образуют локально точный комплекс относительно оператора ${\displaystyle d}$, называемый голоморфным комплексом де Рама. Если ${\displaystyle M}$ – многообразие Штейна, то когомологии этого комплекса изоморфны комплексным когомологиям ${\displaystyle H^{p}(M,\mathbb {C} )}$ и ${\displaystyle H^{p}(M,\mathbb {C} )=0}$ при ${\displaystyle p>\operatorname {dim} _{\mathbb {C} }M}$ (Ганнинг. 1969^[2]).

Аналогично определяются голоморфные формы со значениями в некотором векторном аналитическом расслоении ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle M}$ (голоморфные ${\displaystyle 0}$-формы здесь – голоморфные сечения расслоения). Ростки голоморфных форм степени ${\displaystyle p}$ со значениями в ${\displaystyle E}$ образуют локально свободный аналитический пучок ${\displaystyle \Omega _{E}^{p}}$. Комплекс Дольбо форм типа ${\displaystyle (p,q)}$, ${\displaystyle q=0,1,\ldots ,\operatorname {dim} _{\mathbb {C} }M}$, со значениями в ${\displaystyle E}$ есть тонкая резольвента этого пучка, откуда

${\displaystyle H^{p,q}(M,E)\cong H^{q}\left(M,\Omega _{E}^{p}\right)}$

[теорема Дольбо – Серра (Чжэнь Шэн-шэнь. 1961), (Уэллс. 1976^[3])].

Определение голоморфной формы можно распространить также на комплексные аналитические пространства. Достаточно сделать это для локальных моделей, т. е. в случае, когда пространство ${\displaystyle X}$ является аналитическим подпространством в области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$. Пучок ростков голоморфных ${\displaystyle p}$-форм ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$ на ${\displaystyle X}$ определяется как ${\displaystyle \Omega _{G}^{p}/K^{p}\upharpoonright X}$, где ${\displaystyle \Omega _{G}^{p}}$ – пучок ростков голоморфных ${\displaystyle p}$-форм в ${\displaystyle G}$, a ${\displaystyle K^{p}}$ состоит из ростков форм вида

${\displaystyle }$
${\displaystyle \sum _{k=1}^{r}f_{k}\alpha _{k}+\sum _{l=1}^{s}dg_{l}\wedge \beta _{l},}$
${\displaystyle f_{k},g_{l}\in I,\quad \alpha _{k}\in \Omega _{G}^{p},\quad \beta _{l}\in \Omega _{G}^{p-1},}$
${\displaystyle }$

где ${\displaystyle I}$ – пучок идеалов, задающий ${\displaystyle X}$. Определяется также голоморфный комплекс де Рама пространства ${\displaystyle X}$, который, однако, не является локально точным. Для тогo чтобы этот комплекс был локально точен в точке ${\displaystyle x\in X}$, начиная с ${\displaystyle k}$-й степени, достаточно, чтобы ${\displaystyle X}$ в окрестности точки ${\displaystyle x}$ допускало голоморфное стягивание на локальное аналитическое множество ${\displaystyle Y\subset X}$, для которого ${\displaystyle \operatorname {em\;dim} _{x}Y=k}$ (Reiffen. 1967^[4]).