Гармоническая форма

Гармони́ческая фо́рма, внешняя дифференциальная форма ${\displaystyle \alpha }$ на римановом многообразии ${\displaystyle M}$, удовлетворяющая уравнению ${\displaystyle \Delta \alpha =0}$, где ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$ – оператор Лапласа, соответствующий римановой метрике на ${\displaystyle M}$, а ${\displaystyle \delta }$ – оператор, сопряжённый к внешнему дифференциалу ${\displaystyle d}$. Если ${\displaystyle \alpha }$ имеет компактный носитель, то гармоничность формы ${\displaystyle \alpha }$ равносильна равенствам ${\displaystyle d\alpha =\delta \alpha =0}$. Гармонические формы степени ${\displaystyle p}$ на ${\displaystyle M}$ образуют векторное пространство ${\displaystyle H^{p}(M)}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Если риманово многообразие ${\displaystyle M}$ компактно, то ${\displaystyle H^{p}(M)}$ конечномерно, как ядро эллиптического оператора ${\displaystyle \Delta }$. Поскольку гармоническая форма замкнута, в силу теоремы де Рама возникает естественное отображение пространства ${\displaystyle H^{p}(M)}$ в пространство ${\displaystyle H^{p}(M,\mathbb {R} )}$ вещественных когомологий степени ${\displaystyle p}$ многообразия ${\displaystyle M}$. Из теоремы Ходжа следует, что это отображение является изоморфизмом. В частности, гармонические функции, т. е. гармонические формы степени ${\displaystyle 0}$, на связном компактном многообразии постоянны.

Гармонические формы на компактном римановом многообразии инвариантны относительно любой связной группы изометрий этого многообразия, а для симметрического пространства ${\displaystyle M}$ пространство ${\displaystyle H^{p}(M)}$ совпадает с пространством ${\displaystyle p}$-форм, инвариантных относительно наибольшей связной группы изометрий.

Параллельная теория гармонических форм существует для эрмитовых многообразий ${\displaystyle M}$. Гармоническая форма на эрмитовом многообразии ${\displaystyle M}$ – это комплексная форма, лежащая в ядре оператора Бельтрами – Лапласа ${\displaystyle \square }$. Гармонические формы типа ${\displaystyle (p,q)}$ составляют пространство ${\displaystyle H^{p,q}(M)}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Если ${\displaystyle M}$ компактно, то ${\displaystyle H^{p,q}(M)}$ конечномерно и естественно изоморфно пространству когомологий Дольбо. В случае, когда ${\displaystyle M}$ – кэлерово многообразие, эти 2 понятия гармонической формы фактически совпадают, поскольку ${\displaystyle \square ={\bar {\square }}=1/2\Delta }$. В этом случае

${\displaystyle H^{p,q}(M)={\bar {H}}^{q,p}(M)}$

и

${\displaystyle H^{k}(M)\otimes \mathbb {C} =\sum _{p+q=k}H^{p,q}(M)}$.

Пусть ${\displaystyle \omega }$ – кэлерова форма на ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle L}$ – оператор внешнего умножения на ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle \Lambda }$ – сопряжённый к ${\displaystyle L}$ оператор, ${\displaystyle H_{0}^{p,q}(M)}$ – пространство примитивных гармонических форм типа ${\displaystyle (p,q)}$, т. е. форм ${\displaystyle \alpha \in H^{p,q}(M)}$, для которых ${\displaystyle \Lambda \alpha =0}$. Для ${\displaystyle p\geqslant q}$ и ${\displaystyle p+q\leqslant \operatorname {dim} _{\mathbb {C} }M}$ справедливо равенство

${\displaystyle H^{p,q}(M)=\sum _{s=0}^{q}L^{s}H_{0}^{p-s,q-s}(M)\cong }$
${\displaystyle cong\sum _{s=0}^{q}H_{0}^{p-s,q-s}(M).}$

Для компактного кэлерова многообразия ${\displaystyle M}$ пространство ${\displaystyle H^{p,0}(M)}$ совпадает с пространством ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ голоморфных форм степени ${\displaystyle p}$. В частности,

${\displaystyle H^{1}(M)\otimes C=\Omega ^{1}(M)+{\overline {\Omega ^{1}(M)}}}$.

Изучение гармонических функций и форм на римановых поверхностях восходит к Б. Риману, сформулированные которым теоремы существования были полностью обоснованы к началу 20 в. Теория гармонических форм на компактных римановых многообразиях была впервые изложена У. Ходжем (Hodge. 1952^[1]).

В дальнейшем были даны различные обобщения теории гармонических форм. Пусть на римановом (соответственно, эрмитовом) многообразии ${\displaystyle M}$ задано локально плоское (соответственно, аналитическое) векторное расслоение ${\displaystyle E}$ и пусть на слоях расслоения ${\displaystyle E}$ задана евклидова (соответственно, эрмитова) метрика. При помощи надлежащего обобщения оператора Лапласа (соответственно, Бельтрами – Лапласа) (см. Уэллс. 1976^[2]; Мацусима. 1965^[3]) определяются пространства ${\displaystyle H^{p}(E)}$ [соответственно, ${\displaystyle H^{p,q}(E)}$] гармонических форм со значениями в ${\displaystyle E}$. Если ${\displaystyle M}$ компактно, то эти пространства конечномерны и изоморфны соответствующим пространствам когомологий де Рама и Дольбо, допускающим, в свою очередь, интерпретацию в терминах когомологий пучков. В случае локально плоского расслоения эти когомологии тесно связаны также с когомологиями группы ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$. Если ${\displaystyle M}$ не компактно, то пространство гармонических форм с интегрируемым квадратом изоморфно пространству когомологий комплекса форм с интегрируемым квадратом (Рам Ж. де. 1956^[4]). В случае, когда ${\displaystyle M}$ – область с гладкой границей и компактным замыканием ${\displaystyle {\bar {M}}}$ в кэлеровом многообразии ${\displaystyle {\tilde {M}}}$, можно рассматривать также пространство гармонических форм типа ${\displaystyle (p,q)}$ со значениями в векторном аналитическом расслоении ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle {\tilde {M}}}$, гладких в ${\displaystyle M}$ и непрерывных в ${\displaystyle {\bar {M}}}$. Если ${\displaystyle M}$ строго псевдовыпукла, то это пространство конечномерно и изоморфно пространству когомологий Дольбо, соответствующему ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle M}$ (Кон. 1964^[5], Кон. 1964^[6]).

Гармонические формы являются мощным средством изучения когомологий вещественных и комплексных многообразий, а также когомологий дискретных групп. Из теории гармонических форм выводятся основные когомологические свойства компактных кэлеровых многообразий и, в частности, проективных алгебраических многообразий (Hodge. 1952; Уэллс. 1976^[7]; Чжэнь Шэн-шэнь. 1961^[8]). С помощью гармонических форм удаётся установить связь между кривизной компактного риманова многообразия и тривиальностью некоторых его групп когомологий (Goldberg. 1962^[9]; Яно. 1957^[10]). Аналогичные связи имеют место в комплексной аналитической геометрии (см. Уэллс. 1976, Чжэнь Шэн-шэнь. 1961) и в теории дискретных групп преобразований (см. Мацусима. 1965).