Зако́н ине́рции квадрати́чных форм, теорема, утверждающая, что при любом способе приведения квадратичной формы

$$\sum_{i,j=1}^sa_{ij}x_ix_j$$с действительными коэффициентами к сумме квадратов

$$\sum_{i=1}^sb_i y_i^2$$посредством линейной замены переменных

$$(x_1,\ldots,x_s)=(y_1,\ldots, y_s)Q,$$где $Q$ – невырожденная матрица с действительными коэффициентами, число $p$ (соответственно $n$) таких индексов $i$, что $b_i>0$ (соответственно $b_i<0$), остаётся неизменным. В этой классической форме закон инерции квадратичных форм установлен Дж. Дж. Сильвестром. Это утверждение иногда называют также теоремой Сильвестра.

В современной форме закон инерции квадратичных форм – это следующее утверждение о свойствах симметрических билинейных форм над упорядоченными полями. Пусть $E$ – конечномерное векторное пространство над упорядоченным полем $k$, снабжённое невырожденной симметрической билинейной формой $f$. Тогда существует такое целое число $p\geqslant 0$, что для любого ортогонального относительно $f$ базиса $e_1, \ldots, e_s$ в $E$ среди $s$ элементов

$$f(e_i, e_i),\quad i=1,\ldots, s,$$имеется в точности $p$ положительных и в точности $n=s-p$ отрицательных. Пара $(p,n)$ называется сигнатурой билинейной формы $f$, а число $n$ – её индексом инерции. Две эквивалентные формы имеют одинаковую сигнатуру. Если $k$ – евклидово поле, то равенство сигнатур является достаточным условием для эквивалентности билинейных форм. Если индекс инерции $n=0$, форма называется положительно определённой, а при $p=0$ – отрицательно определённой. Эти случаи характеризуются тем, что $f(x, x)>0$ (соответственно, $f(x, x)<0$) для любого ненулевого вектора $x\in E$. Из закона инерции вытекает, что $E$ есть ортогональная относительно $f$ прямая сумма подпространств

$$E=E_{{+}}\oplus E_{{-}},$$таких, что сужение $f$ на $E_{{+}}$ является положительно определённой, а сужение $f$ на $E_{{-}}$ – отрицательно определённой билинейной формой и

$$\dim E_{{+}}=p,\quad \dim E_{{-}}=n$$(так что размерности пространств $E_{{+}}$ и $E_{{-}}$ не зависят от способа разложения).

Иногда сигнатурой формы f называют разность

$$\sigma(f)=p-n.$$Если формы $f$ и $g$ определяют один и тот же элемент кольца Витта $W(k)$ поля $k$, то $\sigma(f)=\sigma(g)$. Более того, $\sigma(f_1\oplus f_2)=\sigma(f_1)+\sigma(f_2)$, $\sigma(f_1\otimes f_2)=\sigma(f_1)\sigma(f_2)$ для любых невырожденных форм $f_1$ и $f_2$ и $\sigma(\langle 1\rangle)=1$, так что отображение $f\mapsto\sigma(f)$ определяет гомоморфизм кольца $W(k)$ в кольцо целых чисел $\mathbb Z$. Если $k$ – евклидово поле, то этот гомоморфизм является изоморфизмом.

Закон инерции обобщается на случай эрмитовой билинейной формы над максимальным упорядоченным полем $k$, над квадратичным расширением $k$ или над телом кватернионов над $k$ (см. Бурбаки. 1966, Milnor. 1973).