Теоре́ма Кра́мера, интегральная предельная теорема для вероятностей больших отклонений (уклонений) сумм независимых случайных величин. Пусть $X_1,X_2,\ldots$ – последовательность независимых случайных величин с общей невырожденной функцией распределения $F(x)$, такой, что $\mathsf{E}X_1=0$ и производящая функция моментов $\mathsf{E}e^{tX_1}$ конечна в некотором интервале $|t|<H$ (последнее условие называется условием Крамера). Пусть

$$\mathsf{E}X_1^2=\sigma^2,\quad F_n(x)=\mathsf{P}\left(\sigma^{-1}n^{-1/2}\sum_{j=1}^nX_j<x\right).$$Если $x>1$, $x=o(\sqrt{n})$ при $n\to\infty$, то

$$\begin{aligned} \frac{1-F_n(x)}{1-\Phi(x)} & =\exp\left\{\frac{x^3}{\sqrt n}\,\lambda\left(\frac x{\sqrt n}\right)\right\} \left[1+O\left(\frac x{\sqrt n}\right)\right],\\ \frac{F_n(-x)}{\Phi(-x)} & =\exp\left\{-\frac{x^3}{\sqrt n}\,\lambda\left(-\frac x{\sqrt n}\right)\right\} \left[1+O\left(\frac x{\sqrt n}\right)\right]. \end{aligned}$$Здесь $\Phi(x)$ – нормальная (0, 1) функция распределения, $\lambda(t)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty c_kt^k$ – т. н. ряд Крамера, коэффициенты которого зависят только от моментов случайной величины $X_1$; этот ряд сходится для всех достаточно малых $t$. Несколько более слабый по сравнению с приведённым выше результат был получен Х. Крамером (Сramér. 1938).