Вариа́ция функциона́ла (первая вариация), обобщение понятия дифференциала функции одного переменного, главная линейная часть приращения функционала вдоль определённого направления; используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в термин «вариация функционала», начиная с работы Ж.-Л. Лагранжа (Lagrange. 1867). Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления вида$$\tag{1}J(x)=\int_{t_0}^{t_1} L(t, x(t), \dot{x}(t)) t d.$$Если заданную функцию $x_0(t)$ заменить на $x_0(t)+\alpha h(t)$ и подставить в выражение для $J(x)$, то при допущении о непрерывной дифференцируемости интегранта $L$ имеет место следующее равенство:$$\tag{2}J\left(x_0+\alpha h\right)=J\left(x_0\right)+\alpha J_1\left(x_0\right)(h)+r(\alpha),$$где $|r(\alpha)| \rightarrow 0$ при $\alpha \rightarrow 0$. Функцию $h(t)$ часто называют вариацией функции $x_0(t)$ и иногда обозначают через $\delta x(t)$. Выражение $J_1\left(x_0\right)(h)$, представляющее собой функционал относительно вариаций $h$, называется первой вариацией функционала $J(x)$ и обозначается через $\delta J\left(x_0, h\right)$. В применении к функционалу (1) выражение для первой вариации имеет вид:$$\tag{3}\delta J\left(x_0, h\right)=\int_{t_0}^{t_1}(p(t) \dot{h}(t)+q(t) h(t)) d t,$$где$$p(t)=L_{\dot{x}}\left(t, x_0(t), \dot{x}_0(t)\right),\quad q(t)=L_x\left(t, x_0(t), \dot{x}_0(t)\right).$$Равенство нулю первой вариации для всех $h$ является необходимым условием экстремума функционала $J(x)$. Для функционала (1) из этого необходимого условия и основной леммы вариационного исчисления (см. в статье Лемма Дюбуа-Реймона) следует уравнение Эйлера:$$-\frac{d}{d t} L_{\dot{x}}\left(t, x_0(t), \dot{x}_0(t)\right)+L_x\left(t, x_0(t), \dot{x}_0(t)\right)=0.$$Путём, аналогичным (2), определяются и вариации более высоких порядков (см., например, в статье Вторая вариация функционала).

Общее определение первой вариации в бесконечномерном анализе было дано P. Гато в 1913 г. (см. в статье Вариация Гато). По сути своей определение Гато тождественно с определением Лагранжа. Первая вариация функционала является однородным, но не обязательно линейным функционалом, вариация функционала при дополнительном предположении о линейности и непрерывности (по $h$ ) выражения $\delta J\left(x_0, h\right)$ называется обычно производной Гато. Термины «вариация Гато», «производная Гато», «дифференциал Гато» более употребимы, чем «вариация функционала»; термин «вариация функционала» сохранился лишь для функционалов классического вариационного исчисления (Лаврентьев. 1950).