Вариа́ция Фреше́, одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть действительнозначная функция $f(x)=f(x_1,\ldots, x_n)$ задана на $n$-мерном параллелепипеде

$$D_n=[a_1,b_1]\times \ldots \times [a_n,b_n]$$и введены обозначения

$$\begin{aligned} \Delta_{h_k}(f;x)&=f(x_1,\ldots,x_k+h_k,\ldots,x_n)-\\ &-f(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_n),\quad k=1,\ldots,n,\\ \Delta_{h_1\ldots h_k}(f;x)&=\Delta_{h_k}(\Delta_{h_1\ldots h_{k-1}};x),\quad k=2,\ldots,n. \end{aligned}$$Пусть $\Pi$ – произвольное разбиение параллелепипеда $D_n$ гиперплоскостями

$$\begin{gathered} x_s=x_s^{(r_s)}\quad\bigl( x_s^{(r_s)}<x_s^{(r_s+1)}, \quad x_s^{(r_s+1)}-x_s^{(r_s)}=h_s^{(r_s)},\\ x_s^{(0)}=a_s,\quad x_s^{(l_s)}=b_s,\\ r_s=0,1,\ldots l_s-1,\quad s=1,2,\ldots,n\bigr) \end{gathered}$$на $n$-мерные параллелепипеды, a $\varepsilon_1^{(r_1)},\ldots,\varepsilon_n^{(r_n)}$ могут принимать значения $\pm 1$ произвольным образом. Вариация Фреше определяется так:

$$\begin{gathered} F(f;D_n)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup_{\varepsilon}\sup_{\Pi}\biggl| \sum_{r_1=0}^{l_1-1}\ldots\sum_{r_n=0}^{l_n-1}\varepsilon_1^{(r_1)}\cdot\ldots\cdot\varepsilon_n^{(r_n)}\times\\ \times\Delta_{h_1^{(r_1)}\ldots h_n^{(r_n)}}(f;x_1^{(r_1)},\ldots x_n^{(r_n)}) \biggr|. \end{gathered}$$Если $F(f;D_n)<\infty$, то говорят, что функция $f(x)$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на $D_n$, а класс всех таких функций обозначается через $F(D_n)$. Этот класс при $n=2$ введён М. Фреше (Fréchet. 1915) в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала $U(\varphi_1,\varphi_2)$ в пространстве непрерывных на квадрате $Q_2=[a,b]\times[a,b]$ функций вида $\varphi_1(x_1)\varphi_2(x_2)$. Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде

$$U(\varphi_1,\varphi_2)=\int\limits_a^b\int\limits_a^b\varphi_1(x_1)\varphi_2(x_2)\,d_{x_1}d_{x_2}u(x_1,x_2),$$где $u(x_1,x_2)\in F(Q_2)$ и $u(a, x_2)\equiv u(x_1, b)\equiv 0$.

Для $2\pi$-периодических функций класса $F(Q_n)$ ($Q_n=[0,2\pi]\times\ldots\times[0,2\pi]$) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье (Morse. 1949). Например, если $f(x)\in F(Q_n)$, $n=2,3,\ldots,$ то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции $f(x)$ в каждой точке $x=(x_1,\ldots,x_n)$ сходятся к числу

$$\frac1{2^n}\sum f(x {\pm} 0, \ldots, x_n{\pm}0),$$где суммирование распространяется на все $2^n$ возможные комбинации знаков $\pm$. При этом если функция $f(x)$ непрерывна, то сходимость равномерная (аналог признака Жордана).