Научные законы, утверждения, уравнения

Уравнение Ляпунова – Шмидта

Уравне́ние Ляпуно́ва – Шми́дта, нелинейное вида

u(x)ΩK(x,s)u(s)ds=U01(xv)+ m+n2Umn(xu,v),xΩ,(1) u(x)-\int_{\Omega} K(x, s) u(s)\,d s=U_{01}\begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix}+  \sum_{m+n \geqslant 2} U_{m n}\begin{pmatrix} x \\ u, v \end{pmatrix}, \quad x \in \Omega,\tag{1}где

U01(xv)=K0(x)v(x)+ΩK1(x,s)v(s)ds,Umn(xu,v)=α,βΩΩK(α,β)(x,s1,,si)××uα0(x)uα1(s1)uαi(si)vβ0(x)vβ1(s1)vβi(si)ds1dsi, \begin{gathered} U_{01} \begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix}=K_{0}(x) v(x)+\int_{\Omega} K_{1}(x, s) v(s)\,d s, \\ U_{m n}\begin{pmatrix} x \\ u, v \end{pmatrix}=\sum_{\alpha,\beta} \int_{\Omega} \cdots \int_{\Omega} K^{(\alpha,\beta)}(x, s_{1}, \ldots, s_{i}) \times \\ \times u^{\alpha_{0}}(x) u^{\alpha_{1}}(s_{1}) \ldots u^{\alpha_{i}}(s_{i}) v^{\beta_{0}}(x) v^{\beta_{1}}(s_{1}) \ldots v^{\beta_i} (s_{i})\,d s_{1} \ldots ds_{i}, \end{gathered}

α=(α0,α1,,αi)\alpha=(\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{i}), β=(β0,β1,,βi)\beta=(\beta_{0}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{i}), α0,α1,,αi,β0,β1,,βi\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{i}, \beta_{0}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{i} – неотрицательные целые числа,

α0+α1++αi=m,β0+β1++βi=n,\alpha_{0}+\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{i}=m, \quad \beta_{0}+\beta_{1}+\ldots+\beta_{i}=n,

Ω\Omega – ограниченное конечномерного , vv и функции KK – заданные своих аргументов x,s,s1,,siΩx, s, s_{1},\ldots, s_{i} \in \Omega, uu – искомая функция. Сумма, входящая в правую часть равенства (1), может быть конечной или представлять бесконечный . В последнем случае ряд называется интегро-степенным рядом от двух функциональных аргументов. Предполагается, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Если единица не является характеристическим числом ядра K(x,s)K(x,s), то уравнение (1) при достаточно малом v(x)|v(x)| в классе непрерывных функций имеет единственное малое решение, представимое в виде интегро-степенного ряда. Случай, когда единица есть характеристическое число ядра KK, является более сложным. В этом случае строится некоторая система уравнений – уравнение разветвления:

ωk(ξ1,ξ2,,ξn,v)=0,k=1,,n,(2)\omega_{k}\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n}, v\right)=0,\quad k=1, \ldots, n,\tag{2}где ωk\omega_{k} – известные , nn – кратность характеристического числа 1. Система (2) в общем случае имеет неединственное решение. Какова бы ни была фиксированная достаточно малая функция vv, каждому малому непрерывному решению системы (2) (непрерывное решение системы (2) называется малым, если ξi(0)=0\xi_i(0)=0) соответствует малое решение уравнения (1), представимое в виде интегро-степенного ряда.

Уравнение типа (1) впервые было рассмотрено в 1906 г., а позднее, в более общем виде – в 1908 г.

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Интегральные уравнения