Уравнение Ляпунова – Шмидта

Уравне́ние Ляпуно́ва – Шми́дта, нелинейное интегральное уравнение вида

$$u(x)-\int_{\Omega} K(x, s) u(s)\,d s=U_{01}\begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix}+  \sum_{m+n \geqslant 2} U_{m n}\begin{pmatrix} x \\ u, v \end{pmatrix}, \quad x \in \Omega,\tag{1}$$где

$$\begin{gathered} U_{01} \begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix}=K_{0}(x) v(x)+\int_{\Omega} K_{1}(x, s) v(s)\,d s, \\ U_{m n}\begin{pmatrix} x \\ u, v \end{pmatrix}=\sum_{\alpha,\beta} \int_{\Omega} \cdots \int_{\Omega} K^{(\alpha,\beta)}(x, s_{1}, \ldots, s_{i}) \times \\ \times u^{\alpha_{0}}(x) u^{\alpha_{1}}(s_{1}) \ldots u^{\alpha_{i}}(s_{i}) v^{\beta_{0}}(x) v^{\beta_{1}}(s_{1}) \ldots v^{\beta_i} (s_{i})\,d s_{1} \ldots ds_{i}, \end{gathered}$$

$\alpha=(\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{i})$, $\beta=(\beta_{0}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{i})$, $\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{i}, \beta_{0}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{i}$ – неотрицательные целые числа,

$$\alpha_{0}+\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{i}=m, \quad \beta_{0}+\beta_{1}+\ldots+\beta_{i}=n,$$

$\Omega$ – ограниченное замкнутое множество конечномерного евклидова пространства, $v$ и функции $K$ – заданные непрерывные функции своих аргументов $x, s, s_{1},\ldots, s_{i} \in \Omega$, $u$ – искомая функция. Сумма, входящая в правую часть равенства (1), может быть конечной или представлять бесконечный ряд. В последнем случае ряд называется интегро-степенным рядом от двух функциональных аргументов. Предполагается, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Если единица не является характеристическим числом ядра $K(x,s)$, то уравнение (1) при достаточно малом $|v(x)|$ в классе непрерывных функций имеет единственное малое решение, представимое в виде интегро-степенного ряда. Случай, когда единица есть характеристическое число ядра $K$, является более сложным. В этом случае строится некоторая система уравнений – уравнение разветвления:

$$\omega_{k}\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n}, v\right)=0,\quad k=1, \ldots, n,\tag{2}$$где $\omega_{k}$ – известные степенные ряды, $n$ – кратность характеристического числа 1. Система (2) в общем случае имеет неединственное решение. Какова бы ни была фиксированная достаточно малая функция $v$, каждому малому непрерывному решению системы (2) (непрерывное решение системы (2) называется малым, если $\xi_i(0)=0$) соответствует малое решение уравнения (1), представимое в виде интегро-степенного ряда.

Уравнение типа (1) впервые было рассмотрено А. М. Ляпуновым в 1906 г., а позднее, в более общем виде – Э. Шмидтом в 1908 г.