Цикли́ческие когомоло́гии $HC^*(A)$ ассоциативной алгебры $A$, когомологии комплекса

$$0\to C^0_\lambda(A)\stackrel{b}\longrightarrow\ldots \stackrel{b}\longrightarrow C^n_\lambda(A)\stackrel{b}\longrightarrow C^{n+1}_\lambda(A)\stackrel{b}\longrightarrow\ldots,$$где $C^n_\lambda(A)$ – пространство полилинейных функционалов $\varphi(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ над $A$, которые являются циклическими:

$$\varphi(a_1,a_2,\ldots,a_n,a_0)=(-1)^{n}\varphi(a_0,a_1,\ldots,a_n),$$а $$(b\varphi)(a_0,\ldots,a_{n+1})=\sum\limits^n_{i=0}{(-1)^i\varphi(a_0,\ldots,a_ia_{i+1},\ldots,a_{n+1})} + \\+ (-1)^{n+1}\varphi(a_{n+1}a_0,\ldots,a_n)$$– дифференциал Хохшильда. Имеется оператор периодичности $S:HC^n(A)\to HC^{n+2}(A)$, а соответствующий прямой предел $\lim_{k\to\infty}HC^{n+2k}(A)$ называется периодическими циклическими когомологиями $HP^*(A)$. Определено спаривание циклических когомологий с $K$-теорией $K_*(A)$ (спаривание Черна – Конна). Имеются варианты циклических когомологий для алгебр Фреше, $C^*$-алгебр и др.

Циклические гомологии и когомологии были определены независимо Б. Л. Цыганом (Цыган. 1983) и А. Конном (Connes. 1985) и играют важную роль во многих вопросах алгебры, геометрии, топологии, анализа.