Тро́йка в катего́рии (монада), моноид в категории функторов. Другими словами, тройкой в категории $\mathfrak{R}$ называется ковариантный функтор $T: \mathfrak{R} \rightarrow \mathfrak{R}$, снабжённый такими естественными преобразованиями $\varepsilon: \operatorname{Id}_{\mathfrak{R}} \rightarrow \mathfrak{R}$ и $\mu: T^2 \rightarrow T$, что следующие диаграммы коммутативны (здесь $\operatorname{Id}$ обозначает тождественный функтор категории $\mathfrak{R}$).

Иногда тройка называется стандартной конструкцией.

Для любой пары сопряжённых функторов $F: \mathfrak{R} \rightarrow \mathfrak{L}$ и $G: \mathfrak{L} \rightarrow \mathfrak{R}$ функтор $T=F G: \mathfrak{R} \rightarrow \mathfrak{R}$ является тройкой вместе с морфизмами $\varepsilon: \operatorname{Id}_{\mathfrak{R}} \rightarrow T$ и $\mu=G\left(\eta_F\right): T^2 \rightarrow T$, где $\varepsilon$ и $\eta$ – единица и коединица сопряжения. Обратно, для произвольной тройки $(T, \varepsilon, \mu)$ существует такая пара сопряжённых функторов $F$ и $G$, что $T=F G$, а преобразования $\varepsilon$ и $\mu$ получаются из единицы и коединицы сопряжения описанным выше способом. Подобных различных разложений для тройки может оказаться целый класс. В этом классе имеется наименьший элемент (конструкция Клейсли) и наибольший элемент (конструкция Эйленберга – Мура).

Примеры. 1) В категории множеств функтор взятия множества подмножеств произвольного множества обладает структурой тройки: каждое множество $X$ естественно вкладывается в множество своих подмножеств, а каждому множеству подмножеств $X$ сопоставляется объединение этих подмножеств.

2) В категории множеств каждый основной функтор $H_A(X)=H(A, X)$ является тройкой: отображение $\varepsilon_X: X \rightarrow H(A, X)$ сопоставляет каждому $x \in X$ функцию $f_x: A \rightarrow X$, тождественно равную $x$; отображение $\mu_X: H(A, H(A, X)) \simeq H(A \times A, X) \rightarrow H(A, X)$ сопоставляет каждой функции от двух переменных её ограничение на диагональ.

3) В категории $R$-модулей над коммутативным кольцом $R$ функтор $T_A(X)=A \otimes_R X$ снабжается структурой тройки, аналогичной структуре из примера 2).

4) В категории топологических пространств каждая топологическая группа $G$ позволяет определить функтор $T_G(X)= X \times G$, который является тройкой: каждый элемент $x \in X$ переходит в элемент $(x, e)$, где $e$ – единичный элемент группы $G$, а отображение $\mu: X \times G \times G \rightarrow X \times G$ определяется равенством $\mu_X\left(x, g, g^{\prime}\right)=\left(x, g g^{\prime}\right)$.